ヤコビの四平方定理のソースを表示

'''ヤコビの四平方定理''' ({{Lang-en-short|Jacobi's four square theorem}}) は、自然数を高々四個の[[平方数]]の和で表す方法の数を与える[[定理]]<ref>{{Harvtxt|ハーディ|ライト|2012|pp=317-321}}</ref>。名称はドイツの数学者[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコビ]]に由来する。

自然数Nを高々四個の平方数の和で表す方法の数は
:<math>r_4(N)=8\sum_{4{\nmid}d{\mid}N}d</math>
で与えられる。但し、シグマ記号は4で整除されないNの[[約数]]（1とNを含む）について和を取ることを表す。<math>N\geqq1</math>ならば<math>r_4(N)\geqq8</math>であるから、ヤコビの四平方定理はラグランジュの[[四平方定理]]を包含する。

ヤコビの四平方定理は[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコビ]]が[[楕円関数]]論を使用して証明した。この定理は[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]が『[[#CITEREFガウス1995|整数論]]』の第182条で述べたものと同値である<ref>{{Harvtxt|ハーディ|ライト|2012|p=321}}</ref>。

== 具体例 ==
例えば、
:<math>r_4(12)=8\left(1+2+3+6\right)=96</math>
であるが、実際に12を高々四個の平方数の和で表す方法は
:<math>\begin{align}12
&=(\pm2)^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2+0^2\\
&=(\pm2)^2+(\pm2)^2+0^2+(\pm2)^2\\
&=(\pm2)^2+0^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2\\
&=0^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2\\
&=(\pm3)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2\\
&=(\pm1)^2+(\pm3)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2\\
&=(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm3)^2+(\pm1)^2\\
&=(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm3)^2\\
\end{align}</math>
であり、符号と順序を区別すれば96個になる。

== 関連記事 ==
{{Div col}}
*ラグランジュの[[四平方定理]]
*[[Disquisitiones Arithmeticae]]
{{Div col end}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|first=C・F・|last=ガウス|authorlink=カール・フリードリヒ・ガウス|translator=[[高瀬正仁]]|origyear=1801|date=1995-06-20|title=ガウス整数論|series=数学史叢書|publisher=[[朝倉書店]]|isbn=978-4-254-11457-7|ref={{Harvid|ガウス|1995}}}}
*{{Cite book|和書|first=G・H・|last=ハーディ|authorlink=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|first2=E・M・|last2=ライト|translator=示野信一・矢神毅|origdate=2001-07|date=2012-01|title=数論入門|volume=I|publisher=[[丸善出版]]|series=シュプリンガー数学クラシックス8|isbn=978-4-621-06226-5 |ref={{Harvid|ハーディ|ライト|2012}}}}

{{DEFAULTSORT:やこひのよんへいほうていり}}
[[Category:数論の定理]]
[[Category:カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]