ヤコビの四平方定理

ヤコビの四平方定理 (テンプレート:Lang-en-short) は、自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理^[1]。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。

自然数Nを高々四個の平方数の和で表す方法の数は

r_{4} (N) = 8 \sum_{4 ∤ d ∣ N} d

で与えられる。但し、シグマ記号は4で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。 $N ≧ 1$ ならば $r_{4} (N) ≧ 8$ であるから、ヤコビの四平方定理はラグランジュの四平方定理を包含する。

ヤコビの四平方定理はヤコビが楕円関数論を使用して証明した。この定理はガウスが『整数論』の第182条で述べたものと同値である^[2]。

具体例

例えば、

r_{4} (12) = 8 (1 + 2 + 3 + 6) = 96

であるが、実際に12を高々四個の平方数の和で表す方法は

\begin{matrix} 12 & = (\pm 2)^{2} + (\pm 2)^{2} + (\pm 2)^{2} + 0^{2} \\ = (\pm 2)^{2} + (\pm 2)^{2} + 0^{2} + (\pm 2)^{2} \\ = (\pm 2)^{2} + 0^{2} + (\pm 2)^{2} + (\pm 2)^{2} \\ = 0^{2} + (\pm 2)^{2} + (\pm 2)^{2} + (\pm 2)^{2} \\ = (\pm 3)^{2} + (\pm 1)^{2} + (\pm 1)^{2} + (\pm 1)^{2} \\ = (\pm 1)^{2} + (\pm 3)^{2} + (\pm 1)^{2} + (\pm 1)^{2} \\ = (\pm 1)^{2} + (\pm 1)^{2} + (\pm 3)^{2} + (\pm 1)^{2} \\ = (\pm 1)^{2} + (\pm 1)^{2} + (\pm 1)^{2} + (\pm 3)^{2} \end{matrix}

であり、符号と順序を区別すれば96個になる。