ヤコビ多様体のソースを表示

数学において、[[種数]] ''g'' の非特異[[代数曲線]] ''C'' の'''ヤコビ多様体''' (ヤコビたようたい、Jacobian variety) ''J''(''C'') とは、次数が 0 の[[直線束]]の[[モジュライ空間]]を言う。ヤコビ多様体は、''C'' の[[ピカール群]]の単位元の連結成分であり、従って、[[アーベル多様体]]である。
<!---In [[mathematics]], the '''Jacobian variety''' ''J(C)'' of a non-singular [[algebraic curve]] ''C'' of [[genus (mathematics)|genus]] ''g'' is the [[moduli space]] of degree 0 [[line bundle]]s. It is the connected component of the identity in the [[Picard group]] of ''C'', hence an [[abelian variety]].-->

ヤコビ多様体の名称はヤコビの逆問題を研究した[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|カール・グスタフ・ヤコビ]]にちなむ{{Sfn|Kleiman|2005|p=6}}。最初に「ヤコビ多様体」の名称を使ったのは[[フェリックス・クライン]]ではないかと言われている<ref>
{{cite arXiv |last= Catanese |first= Fabrizio |eprint=marh/0307068 |title=From Abel's heritage: transcendental objects in algebraic geometry and their algebrization |date=2003 |p=13}}
</ref>。

==はじめに==
{{要改訳|section=1}}

ヤコビ多様体の名称は、{{要検証|=[[アーベル・ヤコビ写像#アーベル・ヤコビの定理|アーベル・ヤコビの定理]]を完全に証明し[[ニールス・アーベル]](Niels Abel)の単射性のステートメントを同型写像にした[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|カール・グスタフ・ヤコビ]]|date=2023年1月}}{{Efn2|{{harvtxt|Kleiman|2005|p=6}} にはこの記載とことなることが書かれている。}}(Carl Gustav Jacobi)の名前にちなんでいる。ヤコビ多様体は、次元 g の主偏極[[アーベル多様体]]であり、従って、複素数体上では{{仮リンク|複素トーラス|en|complex torus}}(complex torus)である。p が C 上の点であれば、C は J の単位元へ写像される与えられた点 p を持つ J の[[部分多様体]]へ写像することができ、C は J を[[群 (数学)|群]]として生成する。
<!---==Introduction==

The Jacobian variety is named after [[Carl Gustav Jacobi]], who proved the complete version [[Abel-Jacobi theorem]], making the injectivity statement of [[Niels Abel]] into an isomorphism. It is a principally polarized [[abelian variety]], of [[dimension]] ''g'', and hence, over the complex numbers, it is a [[complex torus]]. If ''p'' is a point of ''C'', then the curve ''C'' can be mapped to  a [[subvariety]] of ''J'' with the given point ''p'' mapping to the identity of ''J'', and ''C'' generates ''J'' as a [[Group (mathematics)|group]].-->

==リーマン面のヤコビ多様体の構成==

リーマン面 <math>X</math> のヤコビアン <math>\mathrm{Jac}\left( X \right)</math> を以下のように定義する。
:<math>\mathrm{Jac} \left( X \right) := \Omega^{1}_{hol}\left( X \right)^{\vee}/ H_{1}\left( X, \mathbb{Z} \right).</math>
ただし、<math>\Omega^{1}_{hol}\left( X \right)</math> を <math>X</math> 上で定義された正則1形式のなす複素ベクトル空間。
<math>\Omega^{1}_{hol}\left( X \right)^{\vee}</math> は、その双対空間、
<math>H_{1}\left( X, \mathbb{Z}\right)</math>は、<math>X</math> 上の1次の[[ホモロジー群]]である。
<math>\Omega^{1}_{hol}\left( X \right)^{\vee}</math> の元は次のように明示的に表せる
:<math>\mathbb{R} \int_{A_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R} \int_{A_{g}} \oplus \mathbb{R} \int_{B_{1}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{R} \int_{B_{g}},</math>
で与えられる{{Sfn|Diamond|Schurman|2005|p=213}}。ただし<math>A_{1}, \cdots A_{g}</math>、<math>B_{1}, \cdots B_{g}</math>はそれぞれ、<math>X \left( \Gamma \right)</math>の <math>\alpha</math>-ループ、<math>\beta</math>-ループ、<math>g</math>は <math>X</math> の種数である。
または、アーベルの定理を適用して、
:<math>\Omega_{hol}^{1} \left( X \right)^{\vee} = \left\{ \sum_{\gamma} n_{\gamma} \int_{\gamma} \Bigg| n_{\gamma} \in \mathbb{Z}, \sum_{\gamma} n_{\gamma} = 0 \right\},</math>
と考えてもよい{{Sfn|Diamond|Schurman|2005|p=215}}。ただし、<math>\gamma</math>は<math>X</math>上のパスである。また、<math>H_{1}\left( X, \mathbb{Z}\right)</math>の要素は
:<math>\mathbb{Z} \int_{A_{1}} \oplus \mathbb{Z} \int_{A_{2}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \int_{A_{g}} \oplus \mathbb{Z} \int_{B_{1}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \int_{B_{g}},</math>
で与えられる{{Sfn|Diamond|Schurman|2005|p=213}}。
このような定義は、リーマン面 <math>X</math> 上の積分が、途中に任意のループ上の積分を含んでも結果が不変であることを要求することで自然に現れる。

任意の体上の曲線のヤコビ多様体は、{{harvtxt|Weil|1948}}により、有限体上の曲線のリーマン予想の証明の一部として構成された。

[[アーベル・ヤコビ写像|アーベル・ヤコビの定理]]は、このように作られた複素トーラスが次数 0 の直線束のモジュライ空間である[[ピカール群|ピカール多様体]] {{math|Pic{{sup|0}}(''X'')}} と同型である、という定理である{{Sfn|軍司|2005|p=70}}。またヤコビ多様体は単に複素トーラスであるというだけではなく、代数多様体の構造も入ることが知られている{{Sfn|軍司|2005|p=65}}。
<!---==Construction for complex curves==

複素数体上では、ヤコビ多様体は、[[商線型空間|商空間]] V/L として実現される。ここに V は、C 上の大域的正則微分形式の[[ベクトル空間]]の双対であり、L は、γ を C の中の閉じた{{仮リンク|経路 (トポロジー)|label=経路|en|path (topology)}}(path)としたときの微分形式
:<math>
\omega \mapsto \int_{\gamma} \omega
</math>
のすべての元で構成される格子である。言い換えると、上の写像を通して <math>H_1(C)</math> を <math>H^0(\Omega_C^1)^{\vee}</math> へ埋め込んで
:<math>
J(C) = H^0(\Omega_C^1)^{\vee}/ H_1(C),
</math>
である。


Over the complex numbers, the Jacobian variety can be realized as the [[Quotient space (linear algebra)|quotient space]] ''V''/''L'', where ''V'' is the dual of the [[vector space]] of all global holomorphic differentials on ''C'' and ''L'' is the [[lattice (group)|lattice]] of all elements of ''V'' of the form
:<math>
[\gamma]:\ \omega \mapsto \int_{\gamma} \omega
</math>

where ''γ'' is a closed [[path (topology)|path]] in ''C''. In other words,
:<math>
J(C) = H^0(\Omega_C^1)^* / H_1(C),
</math>
with <math>H_1(C)</math> embedded in <math>H^0(\Omega_C^1)^*</math> via above map.

The Jacobian of a curve over an arbitrary field was constructed by {{harvtxt|Weil|1948}} as part of his proof of the Riemann hypothesis for curves over a finite field.

The [[Abel-Jacobi theorem]] states that the torus thus built is a variety, the classical Jacobian of a curve, that indeed parametrizes the degree 0 line bundles, that is, it can be identified with its [[Picard variety]] of degree 0 divisors modulo linear equivalence.-->
== 代数曲線のヤコビ多様体 ==

この節では特に断らない限り {{mvar|k}} を任意の[[可換体|体]]、{{mvar|C}}
を
{{mvar|k}}
上の{{仮リンク|完備多様体|label=完備|en|complete variety}}[[非特異多様体|非特異]]代数曲線とする{{Efn2|
代数幾何学関連の用語については {{harvtxt|AVs}}, p. 2 を参照。
}}。

=== 定義 ===

考えている曲線 {{mvar|C}} と
{{mvar|k}}
上の任意の[[連結空間|連結]][[概型|スキーム]]
{{mvar|T}}
に対して[[群 (数学)|群]]
{{math|''P''{{supsub|0|''C''}}&thinsp;(''T'')}}
を

: ''P''{{supsub|0|''C''}}(''T'') = {ℒ ∈ Pic(''C''×''T'') | すべての ''t'' ∈ ''T'' に対して deg(ℒ{{sub|''t''}} = 0)} / ''q''{{sup|*}}Pic(''T'')

で定義する{{Sfn|JVs|p=2}}。ここでスキーム
{{mvar|S}}
に対して
{{math|Pic(''S'')}}
はその[[ピカール群]]、{{math|''C''×''T''}}
は
{{mvar|C}}
と
{{mvar|T}}
の
{{math|Spec(''k'')}}
上の[[ファイバー積]]、{{math|''C''×''T''}}
上の直線束
{{math|ℒ}}
と
{{mvar|T}}
の点
{{mvar|t}}
に対して
{{math|ℒ{{sub|''t''}}}}
は
{{math|ℒ}}
を
{{mvar|t}}
上のファイバーに制限したもの{{Sfn|AVs|p=7}}、{{math|deg}}
は直線束の次数、{{mvar|q}}
は
{{math|''C''×''T''}}
から第二成分への射影である。

このとき、{{mvar|k}} 上のある[[アーベル多様体]]
{{mvar|J}}
であって
{{math|''J''(''T'')}}
と
{{math|''P''{{supsub|0|''C''}}&thinsp;(''T'')}}
が
{{mvar|T}}
に関して関手的に同型となるものが存在する{{Sfn|JVs|p=2}}。このアーベル多様体
{{mvar|J}}
を
{{mvar|C}}
の'''ヤコビ多様体'''（Jacobian variety）といい{{Sfn|JVs|p=3}}、記号 {{math|Jac(''C'')}} で表す<ref name="Loc5">
[https://heilbronn.ac.uk/wp-content/uploads/2019/06/Morgan-bristol_lecture_1.pdf LOCAL ARITHMETIC OF CURVES AND JACOBIANS], p. 5
</ref>。

=== 諸性質 ===

==== 次元 ====

ヤコビ多様体 {{mvar|J}} の次元は {{mvar|C}} の[[種数]] {{mvar|g}} と等しい{{Sfn|JVs|p=5}}。

==== アーベル・ヤコビ写像 ====

曲線 {{mvar|C}} の {{mvar|k}} 有理点 {{mvar|P}} に対し、{{仮リンク|閉埋入|en|closed immersion}}
{{math|''f''{{sup| ''P''}}: ''C'' → ''J''}}
であって
{{mvar|C}}
の {{mvar|k}} 有理点 {{mvar|Q}} に対して
{{math|1=''f''{{sup| ''P''}}(''Q'') = ℒ&thinsp;(''Q'')⊗ℒ&thinsp;(''P''){{sup|&minus;1}}}}
となるものがただ一つ存在する{{Sfn|JVs|p=6}}。これを '''標準写像'''（canonical map）{{Sfn|JVs|p=5}}、または'''[[アーベル・ヤコビ写像]]'''という<ref name="Loc5" />。

この写像から微分形式の引き戻しにより定義される
{{math|''Γ''(''J'', ''Ω''{{supsub|1|''J''}})}}
から
{{math|''Γ''(''C'', ''Ω''{{supsub|1|''C''}})}}
への線型写像
{{math|( ''f''{{sup| ''P''}}){{sup|*}}}}
は同型写像である{{Sfn|JVs|p=6}}。

==== リーマン面のヤコビ多様体との関係 ====

基礎体
{{mvar|k}}
が[[複素数体]]
{{math|'''C'''}}
であるとき、{{mvar|C}}
の
{{math|'''C'''}}
値点
{{math|''C''('''C''')}}
には自然にコンパクト・リーマン面の構造が入るので、このリーマン面のヤコビ多様体
{{math|Jac(''C''('''C'''))}}
を考えることができる。これは代数幾何学的に定義されたヤコビ多様体
{{mvar|J}}
の
{{math|'''C'''}}
値点
{{math|''J''('''C''')}}
と自然に同型になる{{Sfn|JVs|pp=7–8}}。この同型を与える写像は次のように定義される。まず
{{mvar|C}}
の[[ケーラー微分|正則1形式]]がなす
{{math|1=''k'' = '''C'''}}
上の[[ベクトル空間]]
{{math|''Γ''(''C'', ''Ω''{{supsub|1|''C''}})}}
の[[双対ベクトル空間]]
{{math|''Γ''(''C'', ''Ω''{{supsub|1|''C''}}){{sup|∨}}}}
から
{{math|''J''('''C''')}}
への写像を合成写像

: <math>
\Gamma(C, \Omega^1_C)^{\vee}
\to
\Gamma(J, \Omega^1_J)^{\vee}
\simeq
T_0(J)
\overset{\mathrm{exp}}{\longrightarrow}
J(\mathbb{C})
</math>

で定義する。最初の写像はアーベル・ヤコビ写像から誘導される写像で、次の写像は
{{math|''Γ''(''J'', ''Ω''{{supsub|1|''J''}}){{sup|∨}}}}
と {{mvar|J}} の[[接空間]]
{{math|''T''{{sub|0}}(''J'')}}
の自然な同型写像で、最後の {{math|exp}} は指数写像である。この写像の
{{math|1=''Γ''(''C'', ''Ω''{{supsub|1|''C''}}){{sup|∨}} ≅ ''Ω''{{supsub|1|''hol''}}(''C''('''C'''))}}
における核が
{{math|''H''{{sub|1}}(''C''('''C'''), '''Z''')}}
であることが証明できるので、これより
{{math|1=Jac(''C''('''C''')) = ''Ω''{{supsub|1|''hol''}}(''C''('''C''')) / ''H''{{sub|1}}(''C''('''C'''), '''Z''')}}
と
{{math|''J''('''C''')}}
が同型になることがわかる。

==== アルバネーゼ関手性 ====

{{mvar|P}}
を
{{mvar|C}}
の
{{mvar|k}} 有理点、{{math|1=''f''{{sup| ''P''}}: ''C'' → ''J''}}
をアーベル・ヤコビ写像とする。{{mvar|C}}
からアーベル多様体
{{mvar|A}}
への射
{{math|''φ'': ''C'' → ''A''}}
で {{mvar|P}} を {{mvar|A}} の単位元に送るものがあったとすると、ある一意に定まる準同型
{{math|''ψ'': ''J'' → ''A''}}
が存在して
{{math|1=''φ'' = ''ψ''∘''f''{{sup| ''P''}}}}
が成り立つ{{Sfn|JVs|p=19}}。この性質を'''アルバネーゼ関手性'''（Albanese functoriality）という<ref name="Lec2">
[http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/mordellsem/Notes/L02.pdf Lecture 2: Abelian varieties], p. 9
</ref>。特に、{{math|''f''&thinsp;: ''C''&prime; → ''C''}}
を非特異射影曲線の有限被覆、{{math|''P''&prime;}}
と
{{math|''P''}}
をそれぞれ
{{math|''C''&prime;}}
と
{{math|''C''}}
の
{{mvar|k}}
有理点で
{{math|1=''f''&thinsp;(''P''&prime;) = ''P''}}
が成り立つものとするとき、アルバネーゼ関手性よりアーベル多様体の射
{{math|Alb( ''f'' ): Jac(''C''&prime;) → Jac(''C'')}}
であって
{{math|1=Alb( ''f'' )∘''f''{{sup| ''P''&prime;}} = ''f''{{sup| ''P''}}∘''f''}}
を満たすものが存在する。

==== ピカール関手性 ====

{{math|''f''&thinsp;: ''C'' → ''C''&prime;}}
を {{mvar|k}} 上の非特異射影曲線の間の射とする。このとき
{{mvar|k}}
上のアーベル多様体の射
{{math|Jac(''C''&prime;) → Jac(''C'')}}
であって誘導される写像
{{math|1=Pic{{sup|0}}(''C''{{sub|''k''}}&prime;)&thinsp;=&thinsp;Jac(''C''&prime;)({{overline|''k''}}) → Jac(''C'')({{overline|''k''}})&thinsp;=&thinsp;Pic{{sup|0}}(''C''{{sub|''k''}})}}
が直線束の引き戻し写像になるものが存在する<ref name="Lec2" />。これを'''ピカール関手性'''（Picard functoriality）と呼ぶ。

==発展した話題==
{{要改訳|section=1}}
{{仮リンク|トレリの定理|en|Torelli's theorem}}(Torelli's theorem)は、複素曲線が（偏極をもった）ヤコビ多様体により決定することを言っている。

{{仮リンク|ショットキー問題|en|Schottky problem}}(Schottky problem)は、どのような偏極を持つアーベル多様体が曲線のヤコビ多様体であるかを問うている。

[[ピカール群|ピカール多様体]]、[[アルバネーゼ多様体]]や、{{仮リンク|中間ヤコビ多様体|en|intermediate Jacobian}}(intermediate Jacobian)は、高次元の多様体へのヤコビ多様体の一般化である。高次元の多様体に対し、正則 1-形式の空間の商空間としてのヤコビ多様体の構成はアルバネーゼ多様体として一般化できる。しかし、高次元ではピカール多様体と同型になるとは限らない。
<!---==Further notions==
[[Torelli's theorem]] states that a complex curve is determined by its Jacobian (with its polarization).

The [[Schottky problem]] asks which principally polarized abelian varieties are the Jacobians of curves.

The [[Picard variety]], the [[Albanese variety]], and [[intermediate Jacobian]]s are generalizations of the Jacobian for higher dimensional varieties. For varieties of higher dimension the construction of the Jacobian variety as a quotient of the space of holomorphic 1-forms generalizes to give the [[Albanese variety]], but in general this  need not be isomorphic to the Picard variety.-->

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}

==参考文献==
* {{cite book | author=P. Griffiths | authorlink=Phillip Griffiths |author2=J. Harris |authorlink2=Joe Harris (mathematician)  | title=Principles of Algebraic Geometry | series=Wiley Classics Library | publisher=Wiley Interscience | year=1994 | isbn=0-471-05059-8 | pages=333–363}}
*{{cite conference | author=J.S. Milne | title=Jacobian Varieties | book-title=Arithmetic Geometry |publisher=Springer-Verlag|location=New York| year=1986 | pages=167–212|isbn=0-387-96311-1}}
**{{citation| first = J.S. | last = Milne | title=Jacobian Varieties| version = corrected version | url = https://www.jmilne.org/math/xnotes/JVs.pdf | year=2021 | ref = {{SfnRef|JVs}}}}
**{{citation| first = J.S. | last = Milne | title=Abelian Varieties| version = corrected version | url = https://www.jmilne.org/math/xnotes/AVs.pdf | year=2022 | ref = {{SfnRef|AVs}}}}
*{{Cite book | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | title=Curves and their Jacobians | publisher=The University of Michigan Press, Ann Arbor, Mich. | id={{MathSciNet | id = 0419430}} | year=1975}}
*{{SpringerEOM|title=Jacobi variety|last=Shokurov|first=V.V. |urlname=Jacobi_variety}}
*{{Cite book | last1=Weil | first1=André | author1-link=André Weil | title=Variétés abéliennes et courbes algébriques | publisher=Hermann | location=Paris | oclc=826112 | id={{MathSciNet | id = 0029522}} | year=1948 | ref = harv}}
*{{Cite book | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=Algebraic Geometry | publisher=Springer | location=New York | isbn=0-387-90244-9}}
* {{Cite journal| volume = 1| issue = 2| pages = 215–229| last1 = Ciliberto| first1 = Ciro| last2 = van der Geer| first2 = Gerard
|author3 = [[:en:Montserrat Teixidor i Bigas]]| title = On the number of parameters of curves whose Jacobians possess nontrivial endomorphisms| journal = J. Algebraic Geom| date = 1992}}
* {{Citation
|first1 = Montserrat Teixidor i
|last1 = Bigas
|first2 = Loring W.
|last2 = Tu
|contribution = Theta Divisors for vector bundles
|title = [http://www.ams.org/books/conm/136/ Curves, Jacobians, and Abelian Varieties]
|year = 1992
}}
* {{Citation|和書
| author = 軍司圭一
| contribution = Abel-Jacobi の定理 I
| url = https://www2.meijo-u.ac.jp/~yonishi//research/pub/ss2007/03gunji.pdf
| title = [https://www2.meijo-u.ac.jp/~yonishi//research/pub/ss2007/proceedings.html 種数の高い代数曲線と Abel 多様体]
| ncid = BA85286142
| year = 2005
| series = 整数論サマースクール報告集
| volume = 15
| pages = 61-80
| ref = {{SfnRef|軍司|2005}}
}}
* {{Cite book
|last1       = Diamond
|first1      = F.
|last2       = Schurman
|first2      = J.
|authorlink1 = フレッド・ダイアモンド
|year        = 2005
|title       = A First Course in Modular Forms
|url         = {{google books|d8JS2Ui8iT8C|A First Course in Modular Forms|plainurl=yes}}
|publisher   = [[Springer Verlag]]
|isbn        = 978-1441920058
|ref         = harv
}}
* {{cite arXiv|last1=Kleiman|first1=Steven L.|year=2005|title=The Picard scheme|arxiv=math/0504020}}

<!---{{Algebraic curves navbox}}-->
{{デフォルトソート:やこひたようたい}}
[[Category:アーベル多様体]]
[[Category:代数曲線]]
[[Category:因子の幾何学]]
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[[Category:数学のエポニム]]