ユニタリ行列のソースを表示

'''ユニタリ行列'''（ユニタリぎょうれつ、{{lang-en-short|unitary matrix}}）は、次を満たす[[複素数|複素]][[正方行列]] {{mvar|U}} として定義される。
:<math>U^* U = UU^* = I </math>
ここで、{{mvar|I}} は[[単位行列]]、{{mvar|U{{sup|*}}}} は行列 {{mvar|U}} の[[随伴行列]] ({{math2|''U{{sup|*}}'' {{=}} {{overline|''U''&thinsp;}}{{sup|T}}}})。

なお、実数で構成される行列の随伴は単に転置である{{Sfn|西田吾郎|2009|p=133}}ため実ユニタリ行列は[[直交行列]]に等しく、直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。

== 性質 ==
* [[正方行列]]である。
* [[正規行列]]である。
* 任意のベクトル {{mvar|x}} に対しユニタリ行列による変換は[[等長写像|等長変換]] ({{en|isometry}}) である。{{math2|{{norm|''U'''''x'''}} {{=}} {{norm|'''x'''}}}}
* [[正則行列|正則]]であり、[[逆行列]]は {{math2|''U''{{sup|&minus;1}} {{=}} ''U''{{sup|*}}}}
* 対角化可能（[[正規行列]]であるから）
* [[固有値]]の絶対値は {{math|1}}。{{math|{{abs|''λ''}} {{=}} 1}}（つまり、すべての固有値は複素平面の単位円上に存在する）
:（証明）{{math2|''U'''''x''' {{=}} ''λ'''''x'''}} なる {{mvar|λ}} が固有値。{{math2|{{norm|''U'''''x'''}}{{sup|2}} {{=}} {{abs|''λ''}}{{sup|2}}{{norm|'''x'''}}{{sup|2}}}} また {{math2|1={{norm|''U'''''x'''}}{{sup|2}} = (''U'''''x'''){{sup|*}}''U'''''x''' = '''x'''{{sup|*}}''U''{{sup|*}}''U'''''x''' = '''x'''{{sup|*}}''I'''''x''' = {{norm|'''x'''}}{{sup|2}}}}
* [[特異値]]は {{math|1}}。{{math|''σ{{sub|i}}''&thinsp;(''U'') {{=}} 1}}
* [[行列式]]の絶対値は {{math|1}}。{{math2|{{abs|det(''U'')}} {{=}} 1}}
:（証明）{{math2|1=1 = det(''I'') = det(''UU{{sup|*}}'') = det(''U'')det(''{{overline|U}}''{{sup|T}}) = det(''U'')det({{overline|''U''}}) = det(''U''){{overline|det(''U'')}} = {{abs|det(''U'')}}{{sup|2}}}}
* {{mvar|U}} は[[エルミート行列]] {{mvar|H}} を用いて {{math2|''U'' {{=}} ''e{{sup|iH}}''}} と記述できる。{{mvar|e}} は[[行列指数関数]]、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]。

== 同値条件 ==
以下の条件は、複素正方行列 {{mvar|U}} がユニタリ行列であることと同値である：
# 行列 {{mvar|U}} は {{math2|''UU{{sup|*}}'' {{=}} ''I''}} を満たす{{Sfn|西田吾郎|2009|p=134}}
# 行列 {{mvar|U}} は {{math2|''U{{sup|*}}U'' {{=}} ''I''}} を満たす{{Sfn|西田吾郎|2009|p=134}}
# 行列 {{mvar|U}} は正則行列で {{math2|''U''{{sup|&minus;1}} {{=}} ''U{{sup|*}}''}} を満たす
# 行列 {{mvar|U}} の列は正規直交基底である{{Sfn|西田吾郎|2009|p=134}}
# 行列 {{mvar|U}} の行は正規直交基底である{{Sfn|西田吾郎|2009|p=134}}
# 行列 {{mvar|U}} は[[等長写像]]である
# 行列 {{mvar|U}} は単位円上に固有値をもつ[[正規行列]]である

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author=西田吾郎
|authorlink=西田吾郎
|date=2009-06-22
|year=2009
|title=線形代数学
|publisher=京都大学学術出版会
|isbn=978-4-87698-757-3
|ref=harv}}

== 関連項目 ==
*[[直交行列]]（実数の場合）
*[[ユニタリ変換]]
*[[ユニタリ群]]
*[[ユニタリ作用素]]
*[[特異値分解]] - 任意の行列をユニタリ行列と[[特異値]]を対角成分とする[[対角行列]]に分解。{{math2|''A'' {{=}} ''UΣV{{sup|*}}''}}.
*[[正規行列]]
*[[シュレーディンガー方程式]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|2617|ユニタリ行列の定義と性質の証明}}

{{線形代数}}

{{DEFAULTSORT:ゆにたりきようれつ}}
[[Category:行列|ゆにたり]]
[[Category:ユニタリ作用素]]
[[Category:数学に関する記事]]