ユークリッド位相のソースを表示


にユークリッド計量によって誘起される自然位相幾何学である。

数学、特に一般的な[[位相空間論|位相幾何学]]において、'''ユークリッド位相'''（ユークリッドいそう、''Euclidean topology''）は<math>n</math>-次元[[ユークリッド空間]] <math>\R^n</math>上で定義される[[ユークリッド距離]]から誘導される[[自然な位相]]である。

== 定義 ==
<math>\R^n</math>上の[[ユークリッド空間|ユークリッドノルム]]は非負の値を取る関数 <math>\|\cdot\| : \R^n \to \R</math> で以下のように定義される:<math display="block">\left\|\left(p_1, \ldots, p_n\right)\right\| ~:=~ \sqrt{p_1^2 + \cdots + p_n^2}.</math>他の[[ノルム]]同様、 ユークリッドノルムから距離が<math>d(p, q) = \|p - q\|</math>で定義される[[距離空間]]が生成される。[[ユークリッド空間|ユークリッドノルム]]から生成される距離 <math>d : \R^n \times \R^n \to \R</math>は[[ユークリッド距離]]と呼ばれる。そして二点<math>p = \left(p_1, \ldots, p_n\right)</math>と<math>q = \left(q_1, \ldots, q_n\right)</math>は:<math display="block">d(p, q) ~=~ \|p - q\| ~=~ \sqrt{\left(p_1 - q_1\right)^2 + \left(p_2 - q_2\right)^2 + \cdots + \left(p_i - q_i\right)^2 + \cdots + \left(p_n - q_n\right)^2}.</math>任意の[[距離空間]]において、[[球体|開球]]がその空間上の位相の[[基底 (位相空間論)|基底]]を形成する。<ref>[[距離空間#距離の誘導する位相]]</ref> <math>\R^n</math>上のユークリッド位相はこれらの球から''生成される。''
すなわち、<math>\R^n</math>上のユークリッド位相の開集合は(任意の)開球<math>B_r(p)</math>の和集合で与えられる。ここで<math>B_r(p)</math>は、<math>B_r(p) := \left\{x \in \R^n : d(p,x) < r\right\} (0 < r \in \R , p \in \R^n) </math>

(<math>d</math>はユークリッド距離)で定義される。

== 性質 ==
この位相が与えられたとき、 実数直線<math>\R</math>は[[正規空間|T<sub>5</sub> 空間]]である。 <math>\overline{A} \cap B = A \cap \overline{B} = \varnothing</math>を満たす<math>\R</math>の部分集合<math>A</math>,<math>B</math>が与えられたとき(ここで<math>\overline{A}</math>は<math>A</math>の[[閉包 (位相空間論)|閉包]])、開集合<math>S_A</math>,<math>S_B</math>が存在して、<math>A \subseteq S_A</math>,<math>B \subseteq S_B</math>,<math>S_A \cap S_B = \varnothing
</math>となる。<ref name="CEIT">{{Citation|title=[[Counterexamples in Topology]]|last=Steen|first=L. A.|last2=Seebach|first2=J. A.|year=1995|publisher=Dover|ISBN=0-486-68735-X}}</ref>

== 関連項目 ==
* [[ヒルベルト空間]]
* [[バナッハ空間の一覧]]
* [[位相空間の一覧]]

== 参考文献 ==
<references group="" responsive="1"></references>

{{DEFAULTSORT:ゆうくりつといそう}}
[[Category:エウクレイデス]]
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]