ユークリッド位相

にユークリッド計量によって誘起される自然位相幾何学である。

数学、特に一般的な位相幾何学において、ユークリッド位相（ユークリッドいそう、Euclidean topology）は$n$-次元ユークリッド空間 ${ℝ}^n$上で定義されるユークリッド距離から誘導される自然な位相である。

定義

${ℝ}^n$上のユークリッドノルムは非負の値を取る関数 $\Vert \cdot \Vert :{ℝ}^n\to ℝ$ で以下のように定義される:$$\Vert (p_1,\dots ,p_n)\Vert :=\sqrt{p_1^2+\cdots +p_n^2}.$$他のノルム同様、 ユークリッドノルムから距離が$d(p,q)=\Vert p-q\Vert$で定義される距離空間が生成される。ユークリッドノルムから生成される距離 $d:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\to ℝ$はユークリッド距離と呼ばれる。そして二点$p=(p_1,\dots ,p_n)$と$q=(q_1,\dots ,q_n)$は:$$d(p,q)=\Vert p-q\Vert =\sqrt{{(p_1-q_1)}^2+{(p_2-q_2)}^2+\cdots +{(p_i-q_i)}^2+\cdots +{(p_n-q_n)}^2}.$$任意の距離空間において、開球がその空間上の位相の基底を形成する。 ${ℝ}^n$上のユークリッド位相はこれらの球から生成される。 すなわち、${ℝ}^n$上のユークリッド位相の開集合は(任意の)開球$B_r(p)$の和集合で与えられる。ここで$B_r(p)$は、$B_r(p):=\{x\in {ℝ}^n:d(p,x)<r\}(0<r\in ℝ,p\in {ℝ}^n)$

($d$はユークリッド距離)で定義される。

性質

この位相が与えられたとき、 実数直線$ℝ$はT₅ 空間である。 $\bar{A}\cap B=A\cap \bar{B}=\varnothing$を満たす$ℝ$の部分集合$A$,$B$が与えられたとき(ここで$\bar{A}$は$A$の閉包)、開集合$S_A$,$S_B$が存在して、$A\subseteq S_A$,$B\subseteq S_B$,$S_A\cap S_B=\varnothing$となる。

関連項目

• ヒルベルト空間
• バナッハ空間の一覧
• 位相空間の一覧