ライプニッツの公式のソースを表示

'''ライプニッツの公式'''（ライプニッツのこうしき、{{lang-en|Leibniz formula}}）とは[[円周率]]の値を求めるための[[公式]]の一つである。以下の[[級数]]で表される。
:<math>1-\frac{1}{3} +\frac{1}{5} -\frac{1}{7} +\frac{1}{9} -\cdots = \frac{\pi}{4}</math>
これは初項が 1 で各項が[[奇数]]の[[逆数]]である[[交項級数]]が {{Math|1=''π'' / 4 (= 0.785398…)}} に収束することを意味する。[[総和]]の記号を用いると以下のようになる。
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}</math>
この公式を名付けたのは[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]であるが、これはすでに[[15世紀]]の[[インド]]の[[数学者]][[マーダヴァ]]がライプニッツより300年ほど前に発見していたものである。公式の発見がマーダヴァの功績であることを示すために'''マーダヴァ-ライプニッツ級数'''と呼ばれることもある。

== 証明 ==
=== 冪級数展開を用いる証明 ===
[[三角関数]]の一つ {{Math|tan ''θ''}} を {{Mvar|θ}} について[[微分]]すると
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d \theta} \tan \theta =1+\tan^2 \theta</math>
となる。ここで {{Math|1=tan ''θ'' = ''x''}} とおくと
:<math>\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta} = 1+x^2 ,\quad \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dx} = \frac{1}{1+x^2} \quad \cdots (1)</math>
が導かれる。

また以下の[[等比級数]]を考える。
:<math>1-x^2 +x^4 -x^6 + x^8 -\cdots =\frac{1}{1+x^2} \qquad (|x|< 1)\quad \cdots (2)</math>
左辺は公比が {{Math|−''x''<sup>2</sup>}} であり、{{Math|{{mabs|−''x''<sup>2</sup>}} < 1}} すなわち {{Math|{{mabs|''x''}} < 1}} のとき {{Math|1/(1 + ''x''<sup>2</sup>)}} に[[収束]]する。(1), (2)式から
:<math>\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dx} =1-x^2 +x^4 -x^6 +x^8 -\cdots \qquad (|x|<1)</math>
が得られる。この両辺を {{Mvar|x}} について[[項別積分]]すれば
:<math>\theta =x-\frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{5} -\frac{x^7}{7} +\frac{x^9}{9} -\cdots \qquad (|x|<1)\quad \cdots (3)</math>
となる（この時、左辺をarctan xと表すと[[ジェームズ・グレゴリー#グレゴリー級数|グレゴリー級数]]のかたちとなる）。（{{Math|1=''x'' = 0}}のとき {{Math|1=''θ'' = 0}} であるから定数項は {{Math|0}} である。）{{Math|1=tan ''θ'' = ''x''}} としたので {{Math|1=''θ'' = {{sfrac|''π''|4}}}} のとき {{Math|1=''x'' = 1}} である。これを利用して(3)式に {{Math|1=''θ'' = {{sfrac|''π''|4}}}} と {{Math|1=''x'' = 1}} を代入すると
:<math>\frac{\pi}{4} =1-\frac{1}{3} +\frac{1}{5} -\frac{1}{7} +\frac{1}{9} -\cdots</math>
という式が現れる。ただし {{Math|1=''x'' = 1}} は {{Math|{{mabs|''x''}} < 1 }}の条件に反するので(3)式に {{Math|1=''x'' = 1}} を代入できるかどうかが問題になるが、この場合は代入してもよいことが分かっている（[[アーベルの連続性定理]]）。

=== フーリエ級数を用いた証明 ===
[[方形波]]を[[フーリエ級数]]で表す証明法もある。方形波 {{Math|''f''(''x'')}} を
:<math>f(x)=\begin{cases} 
-1 &\quad -\pi \le x<0 \\
1 &\quad 0\le x<\pi 
\end{cases}</math>
と定義する（これは区分的に滑らかな関数で {{Math|[−''π'', ''π'')}} 上[[可積分]]である）と、フーリエ係数 {{Math|''a''<sub>''n''</sub>}} はこの方形波が[[奇関数]]なので {{Math|0}} であり、{{Math|''b''<sub>''n''</sub>}} は以下の式で表す。
:<math>\begin{align}
b_n &=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\, dx \\
 &=\frac{1}{\pi} \left\{ \int_{-\pi}^0 (-1)\sin nx\, dx+\int_0^{\pi} 1\cdot \sin nx\, dx\right\} \\
\end{align}</math>
これを計算すると以下のようになる。
:<math>b_n =\begin{cases}
\dfrac{4}{n\pi} &\quad n=2k+1\quad (k\in \mathbb{N} ) \\
0 &\quad n=2k \\
\end{cases}</math>
したがって方形波のフーリエ級数は
:<math>f(x)=\frac{4}{\pi} \left( \sin x+\frac{1}{3} \sin 3x+\frac{1}{5} \sin 5x+\dotsb \right)</math>
となり、{{Math|''f''(''x'')}} は {{Math|1=''x'' = {{sfrac|''π''|2}}}} において連続であるから、両辺に {{Math|1=''x'' = {{sfrac|''π''|2}}}} を代入すると
:<math>1=\frac{4}{\pi} \left( 1-\frac{1}{3} +\frac{1}{5} -\dotsb \right)</math>
であるのでライプニッツの公式が得られる。

== 性質 ==
この公式は単純な形をしているが、実際の円周率の計算に用いるには収束が非常に遅いために全く適していない。[[10進法]]での正確な値 (= 3.1415926535…) を10桁分計算するだけで100億回以上の計算を要するほどである。ちなみに最初の500万項の[[部分和]]を計算すると {{Mvar|π}} の[[近似値]]として
:3.141592<u>4</u>5358979323846<u>4</u>643383279502<u>7</u>841971693993<u>873</u>058…
が得られる。下線の引かれている桁だけ間違っているが、こういった誤差がいくらになるのか予想することは次の[[近似式]]で可能である。
:<math>\frac{\pi}{4} -\sum_{n=0}^{\tfrac{N}{2}} \frac{(-1)^n}{2n+1} \sim \frac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty} \frac{E_{2m}}{N^{2m+1}}</math>
{{Math|''E''<sub>''k''</sub>}} は[[オイラー数]]、{{Mvar|N}} は 4 で割り切れる[[自然数]]である。{{Mvar|N}} に 10 の[[累乗数]]を代入すると、右辺の部分和からこの公式で求めた10進法表記での誤りが現れる桁の位置とその誤差を計算できる。

== 関連項目 ==
*[[円周率の歴史]]
*[[マチンの公式]]
*[[ゴットフリート・ライプニッツ]]
{{級数}}

{{デフォルトソート:らいふにつつのこうしき}}
[[Category:アルゴリズム]]
[[Category:解析学]]
[[Category:円周率]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ゴットフリート・ライプニッツ]]
[[Category:人名を冠した数式]]