ライプニッツの積分法則のソースを表示

{{導入部がない|date=2021年7月17日 (土) 12:51 (UTC)}}
{{Expand English|Leibniz integral rule|date=2021年7月}}
'''ライプニッツの積分法則'''（ライブニッツのせきぶんほうそく）とは、積分に対する微分を計算する法則。名称は[[ゴットフリート・ライプニッツ]]に由来する。

== 概要 ==
　以下の様に積分が定義された場合、

: <math>\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt,</math> <math>-\infty < a(x), b(x) < \infty</math> .

この積分の導関数は次のようにして得られる<ref>{{Cite book|first=Murray H.|last=Protter|first2=Charles B., Jr.|last2=Morrey|chapter=Differentiation under the Integral Sign|title=Intermediate Calculus|location=New York|publisher=Springer|edition=Second|year=1985|isbn=978-0-387-96058-6|pages=421–426|chapterurl=https://books.google.com/books?id=3lTmBwAAQBAJ&pg=PA421}}</ref>。

: <math>\frac{d}{dx} \left (\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt \right )= f\big(x,b(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} b(x) - f\big(x,a(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt \qquad (1)</math>


　積分の上限と下限がxの関数ではなく定数の場合は、

: <math>\frac{d}{dx} \left(\int_{a}^{b} f(x,t)\,dt \right)= \int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt.</math>

となる。これは(1)式の第一項と二項の微分が零の場合と同じである。


　 <math>a(x)=a</math> そして <math>b(x)=x</math> の場合は、次のようになる。

: <math>\frac{d}{dx} \left (\int_{a}^{x} f(x,t)dt \right )= f\big(x,x\big) + \int_{a}^{x}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) dt,</math>

これは(1)式の第一項の微分が1、第一項の微分が零の場合と同じである。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ライプニッツの法則]]

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*{{cite web |url=https://math.hawaii.edu/~rharron/teaching/MAT203/LeibnizRule.pdf |title=The Leibniz Rule |first=Rob |last=Harron }}
-->
{{DEFAULTSORT:らいふにつつのせきふんほうそく}}
[[Category:積分法]]
[[Category:数学に関する記事]]