ラウエの式のソースを表示

[[File:Laue diffraction.svg|thumb|300px|ラウエの式]]
[[結晶学]]において'''ラウエの式'''とは、[[結晶格子]]による[[回折]]が起きる３つの条件についての式である。名前は物理学者[[マックス・フォン・ラウエ]](1879–1960)に由来する。

ラウエの式から[[ブラッグの法則]]を導くことができる。

==ラウエの式==
<math>\boldsymbol{k}_{\mathrm{i}}</math>を入射光の[[波数ベクトル]]、<math>\boldsymbol{k}_{\mathrm{o}}</math>を回折光の波数ベクトルとする。入射光と散乱光の波数ベクトルの差<math>\boldsymbol{k}_{\mathrm{o}} - \boldsymbol{k}_{\mathrm{i}} = \Delta \boldsymbol{k}</math>を'''[[散乱ベクトル]]'''と呼ぶ。

<math>\boldsymbol{a}</math>, <math>\boldsymbol{b}</math>, <math>\boldsymbol{c}</math>を、結晶格子の[[単位胞]]の基本ベクトルとする。

散乱ベクトルについての'''ラウエ条件'''または'''ラウエの式'''とは、整数値である反射指数 (''h'', ''k'', ''l'') についての次の３つの式をいう。
: <math>\begin{align}
\boldsymbol{a} \cdot \Delta \boldsymbol{k} &= 2\pi h, \\
\boldsymbol{b} \cdot \Delta \boldsymbol{k} &= 2\pi k, \\
\boldsymbol{c} \cdot \Delta \boldsymbol{k} &= 2\pi l.
\end{align}</math>

つまり回折が起こるためには、散乱ベクトルは結晶格子の基本ベクトルに関係するある特定の方向でなければならないことを述べている。

==ブラッグの法則との関係==
<math>\boldsymbol{G}=h\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{B}+l\boldsymbol{C}</math>が[[逆格子ベクトル]]であれば、<math>\boldsymbol{G}\cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=2\pi (h+k+l)</math>となる。
ラウエの式から<math>\Delta \boldsymbol{k}\cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=2\pi (h+k+l)</math>が得られる。
よって<math>\Delta \boldsymbol{k}=\boldsymbol{G}</math>つまり<math>\boldsymbol{k}_{\mathrm{o}} - \boldsymbol{k}_{\mathrm{i}} = \boldsymbol{G}</math>となる。

以上のことから'''回折条件'''が得られる。
: <math>\begin{align}
\boldsymbol{k}_{\mathrm{o}} - \boldsymbol{k}_{\mathrm{i}} &= \boldsymbol{G}\\
(\boldsymbol{k}_{\mathrm{i}} + \boldsymbol{G})^2 &= \boldsymbol{k}_{\mathrm{o}}^2\\
{k_i}^2 + 2\boldsymbol{k}_i\cdot\boldsymbol{G} + G^2 &= k_{\mathrm{o}}^2
\end{align}</math>

よって<math>\boldsymbol{k}_{\mathrm{o}}^2=\boldsymbol{k}_{\mathrm{i}}^2</math> (つまり弾性散乱) と <math>\boldsymbol{G} = -\boldsymbol{G}</math> (逆格子ベクトルのマイナスは、やはりその逆格子ベクトル)なので、
: <math>2\boldsymbol{k}_i\cdot\boldsymbol{G}=G^2</math>.

回折条件<math>2\boldsymbol{k}_i\cdot\boldsymbol{G}=G^2</math>から[[ブラッグの法則]] <math>2d\sin\theta =n\lambda</math>が得られる。

==参考文献==
*Kittel, C. (1976). ''Introduction to Solid State Physics'', New York: John Wiley &amp; Sons. ISBN 0-471-49024-5

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