ラグランジュ部分多様体のソースを表示

<math>\, (M,\omega) \,</math>を[[シンプレクティック多様体]]であるとする。

<math>\, M \,</math>の部分多様体<math>\, L \subset M \,</math>が
'''ラグランジュ部分多様体'''であるとは、

(1) <math>\, \dim L = \frac{1}{2}\dim M \,</math>

(2) <math>\, \omega|_{L} = 0 \,</math>

を満たすことをいう。

== 例１ ==
<math> M </math>をn次元シンプレクティック多様体であるとする。
また、<math>\, f_{1}, \cdots, f_{n} \,</math>を次を満たす<math> M </math>上の
[[滑らかな関数]]たちとしよう。

(i) 互いに'''ポアソン可換'''である。すなわち、シンプレクティック形式から定まる
ポアソン構造に関して、<math>\, \{ f_{i}, f_{j} \} = 0 \,</math>が成立する。
ポアソン構造に関しては、[[ポアソン多様体]]を見よ。

(ii) <math>\, df_{1}, \cdots, df_{n} \,</math>は<math>\, M \,</math>上で一次独立である。
<math>\, df_{i} \,</math>は<math>\, f_{i} \,</math>の[[微分形式#外微分|外微分]]を表す。

<math> M </math>から<math> \mathbb{R}^n </math>への写像<math>\, F \,</math>を
<math>\, F : M \to \mathbb{R}^n : p \mapsto (f_{1}(p), \cdots, f_{n}(p)) \,</math>
で定義する。

このとき、もし<math>\, (c_{1}, \cdots, c_{n}) \in \mathbb{R}^n \,</math>が
<math>\, F \,</math>の[[正則値]]であるならば、

<math>\, F^{-1}(c_{1},\cdots,c_{n}) = \{ p \in M | f_{i}(p)=c_{i}, i=1,\cdots,n \} \,</math>

はラグランジュ部分多様体である。

== 例２ ==
<math>\, M \,</math>をｎ次元多様体とし、
<math>\, T^{*}M \,</math>でその[[余接バンドル]]を表すとする。
余接バンドルを[[正準２形式]]<math>\, \omega_{0} \,</math>の入ったシンプレクティック多様体であると
思うと、<math>\, M \hookrightarrow T^{*}M \,</math>はラグランジュ部分多様体である。

== 関連項目 ==
*[[完全可積分]]
*[[フロベニウスの定理]]

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