ラグランジュ部分多様体

$M$ の部分多様体 $L \subset M$ が ラグランジュ部分多様体であるとは、

(1) $\dim L = \frac{1}{2} \dim M$

(2) $ω |_{L} = 0$

を満たすことをいう。

例１

$M$ をn次元シンプレクティック多様体であるとする。また、 $f_{1}, \dots, f_{n}$ を次を満たす $M$ 上の滑らかな関数たちとしよう。

(i) 互いにポアソン可換である。すなわち、シンプレクティック形式から定まるポアソン構造に関して、 ${f_{i}, f_{j}} = 0$ が成立する。ポアソン構造に関しては、ポアソン多様体を見よ。

(ii) $d f_{1}, \dots, d f_{n}$ は $M$ 上で一次独立である。 $d f_{i}$ は $f_{i}$ の外微分を表す。

$M$ から $ℝ^{n}$ への写像 $F$ を $F : M \to ℝ^{n} : p \mapsto (f_{1} (p), \dots, f_{n} (p))$ で定義する。

このとき、もし $(c_{1}, \dots, c_{n}) \in ℝ^{n}$ が $F$ の正則値であるならば、

$F^{- 1} (c_{1}, \dots, c_{n}) = {p \in M | f_{i} (p) = c_{i}, i = 1, \dots, n}$

はラグランジュ部分多様体である。

$M$ をｎ次元多様体とし、 $T^{*} M$ でその余接バンドルを表すとする。余接バンドルを正準２形式 $ω_{0}$ の入ったシンプレクティック多様体であると思うと、 $M ↪ T^{*} M$ はラグランジュ部分多様体である。