ラゲールの陪多項式のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年6月}}
'''ラゲールの陪多項式'''（ラゲールのばいたこうしき、associated Laguerre polynomials）とは、[[常微分方程式]]
:<math>\left( x\frac{d^{2}}{dx^{2}}+(k+1-x)\frac{d}{dx}+(n-k)\right) L^k_n(x)=0</math>
を満たす多項式 <math>L^k_n(x)</math> のことを言う。ただし <math>k</math> は <math>0\le k \le n</math> を満たす整数である。

<math>k=0</math> のときの微分方程式は'''ラゲールの微分方程式'''と呼ばれ、その解 <math>L_n(x)</math> を'''ラゲールの多項式'''という。
ラゲールの陪多項式とラゲールの多項式は次の関係で結ばれている。
:<math>L^k_n(x)=\dfrac{d^k}{dx^k}L_n(x)</math>

また[[ロドリゲスの公式]] (Rodrigues's Formula) として以下の形にも表せる。
:<math>
\begin{array}{lcl}
L^k_n(x)&=&\dfrac{d^k}{dx^k}\left( e^x \dfrac{d^n}{dx^n}\left(x^n e^{-x}\right)\right) \\
&=&\displaystyle{\sum_{m=0}^{n-k}(-1)^{m+k}\dfrac{(n!)^2}{m!(m+k)!(n-m-k)!}x^m}
\end{array}
</math>

[[母関数]]は
:<math>G(t,x)=\dfrac{(-1)^k}{(1-t)^{k+1}}\exp \left({-\dfrac{xt}{1-t}}\right)
=\sum_{n=0} ^\infty L^k_n(x) \dfrac{t^{n-k}}{n!}</math>
である。

<math>k=0</math> のとき<math>L_n(x)</math>について
:<math>x\dfrac{d}{dx}L_n(x)=nL_n(x)-n^2L_{n-1}(x)</math>
:<math>L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_n(x)-n^2L_{n-1}(x)</math>
という漸化式が成り立ち、後者から
:<math>L_0(x)=1</math>
:<math>L_1(x)=-x+1</math>
:<math>L_2(x)=x^2-4x+2</math>
:<math>L_3(x)=-x^3+9x^2-18x+6</math>
である。

[[量子力学]]において、[[球対称]][[ポテンシャル]]の[[シュレディンガー方程式]]（代表的なものは[[水素原子におけるシュレーディンガー方程式]]）の動径方向の解は、ラゲールの陪多項式を用いて表される。

== 関連項目 ==
*[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式]]
* [[特殊関数]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Laguerre Polynomial|urlname=LaguerrePolynomial}}
*{{MathWorld|title=Laguerre Differential Equation|urlname=LaguerreDifferentialEquation}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:らけるのはいたこうしき}}
[[Category:微分方程式]]
[[Category:直交多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]