ラゲールの陪多項式

テンプレート:出典の明記 ラゲールの陪多項式（ラゲールのばいたこうしき、associated Laguerre polynomials）とは、常微分方程式

(x \frac{d^{2}}{d x^{2}} + (k + 1 - x) \frac{d}{d x} + (n - k)) L_{n}^{k} (x) = 0

を満たす多項式 $L_{n}^{k} (x)$ のことを言う。ただし $k$ は $0 \leq k \leq n$ を満たす整数である。

$k = 0$ のときの微分方程式はラゲールの微分方程式と呼ばれ、その解 $L_{n} (x)$ をラゲールの多項式という。ラゲールの陪多項式とラゲールの多項式は次の関係で結ばれている。

L_{n}^{k} (x) = \frac{d^{k}}{d x^{k}} L_{n} (x)

またロドリゲスの公式 (Rodrigues's Formula) として以下の形にも表せる。

\begin{matrix} L_{n}^{k} (x) & = & \frac{d^{k}}{d x^{k}} (e^{x} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} e^{- x})) \\ = & \sum_{m = 0}^{n - k} (- 1)^{m + k} \frac{(n!)^{2}}{m! (m + k)! (n - m - k)!} x^{m} \end{matrix}

G (t, x) = \frac{(- 1)^{k}}{(1 - t)^{k + 1}} \exp (- \frac{x t}{1 - t}) = \sum_{n = 0}^{\infty} L_{n}^{k} (x) \frac{t^{n - k}}{n!}

である。

$k = 0$ のとき $L_{n} (x)$ について

x \frac{d}{d x} L_{n} (x) = n L_{n} (x) - n^{2} L_{n - 1} (x)

L_{n + 1} (x) = (2 n + 1 - x) L_{n} (x) - n^{2} L_{n - 1} (x)

という漸化式が成り立ち、後者から

L_{0} (x) = 1

L_{1} (x) = - x + 1

L_{2} (x) = x^{2} - 4 x + 2

L_{3} (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 18 x + 6

である。

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