スツルム＝リウヴィル型微分方程式

スツルム＝リウヴィル型微分方程式（-がたびぶんほうていしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式 テンプレート:NumBlk のことである。ここで y は関数であり、x は実数変数である。実数係数関数 p (x ) > 0, q (x ), w (x ) > 0 は予め与えられていて、 w は重み関数と呼ばれる。定数λは未定である。

y = 0 (for ∀x )は任意のλに対して(テンプレート:EquationNote)の解であるが、これを自明な解という。自明でない解が存在するかどうかはλに依存する。

予め決められた境界条件のもとで、自明でない(テンプレート:EquationNote)の解 y が存在するようなλを見つけることをスツルム＝リウヴィルの固有値問題と呼ぶ。このとき、λを固有値、y を固有関数と呼ぶ。

例

微分方程式(テンプレート:EquationNote)の左辺の形式をSturm–Liouville 形式 とか 自己随伴形式と呼ぶ。任意の形の2階の線形微分方程式

$P(x)y^{″}+Q(x)y^{\prime }+R(x)y=0$

は以下のように、

$\begin{array}{cc}P(x)y^{″}+Q(x)y^{\prime }+R(x)y& =0\\ \exp (\int \frac{Q(x)}{P(x)}\mathrm{d}x)(y^{″}+\frac{Q(x)}{P(x)}{y}^{\prime }+\frac{R(x)}{P(x)}y)& =0\\ (y^{\prime }\exp (\int \frac{Q(x)}{P(x)}\mathrm{d}x))+\exp (\int \frac{Q(x)}{P(x)}\mathrm{d}x)\frac{R(x)}{P(x)}y& =0\end{array}$

Sturm–Liouville 形式に変形することができる。

たとえば ベッセル方程式

$x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-{\nu }^2)y=0$

は

$(x{y}^{\prime }{)}^{\prime }+xy=\frac{{\nu }^2}{x}y$

とSturm–Liouville 形式に変形できる。

その他の例としては、

ルジャンドルの微分方程式

$((1-x^2)y^{\prime })+\nu (\nu +1)y=0$

エルミートの微分方程式

$\left({\mathrm{e}}^{-x^2}{y}^{\prime }\right)+2\nu {\mathrm{e}}^{-x^2}y=0$

ラゲールの微分方程式

$\left(x{\mathrm{e}}^{-x}{y}^{\prime }\right)+\nu {\mathrm{e}}^{-x}y=0$

がある。

Sturm–Liouville 理論

p (x ) > 0, w (x ) > 0 が成り立ち、かつ、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が有限閉区間 [a, b]で連続であり、さらに、分離された同次境界条件 テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk を持つとき、この境界値問題をスツルム＝リウヴィル型の境界値問題という。

スツルム＝リウヴィル型の境界値問題において、以下のことが言える(Sturm–Liouville 理論):

• 固有値はすべて実数で、離散的な値をとる。固有値は最小値をもつが最大値は持たない。
• 固有値を小さい順にλ₁ , λ₂ , λ₃ , ... と番号をつけると、固有値 λ_n に対応する固有関数 y_n (x ) は定数倍をのぞいて実関数として一意に存在し、開区間 (a, b) にn −1 個の零点を持つ。
• 規格化された固有関数は、境界条件(2)(3)を満たす関数のつくるヒルベルト空間において、正規直交基底を形成する。ただし、内積は $⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x$ で定義される。

なお、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が連続という条件が満たされないとき、方程式は弱い意味で成り立つ（弱解）と考えなければいけない。

関連項目

• ラゲールの陪多項式
• ルジャンドル陪関数
• ヘルムホルツ方程式

参考文献

• テンプレート:Cite book (Chapter 5)
• テンプレート:Cite book (see Chapter 9 for singular S–L operators and connections with quantum mechanics)

関連図書

• 小谷真一、俣野博：「微分方程式と固有関数展開」、岩波書店、ISBN 4-00-005874-6 (2006年6月9日).