ラプラス分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 = ラプラス分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Laplace pdf mod.svg|325px|Probability density plots of Laplace distributions]]
|画像/分布関数 = [[画像:Laplace cdf mod.svg|325px|Cumulative distribution plots of Laplace distributions]]
|母数 = <math>\mu \in \mathbb{R}</math> {{ill|位置母数|en|Location parameter}}<br /><math>b>0</math> {{ill|尺度母数|en|Scale parameter}}
|台 = <math>(-\infty ,+\infty )</math>
|確率関数 = <math>\frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{|x-\mu |}{b} \right)</math>
|分布関数 = <math>\begin{cases}
  \dfrac12 \exp \left( \dfrac{x-\mu}{b} \right) &\mbox{if } x<\mu \\[8pt]
  1-\dfrac12 \exp \left( -\dfrac{x-\mu}{b} \right) &\mbox{if } x\geq \mu
\end{cases}</math>
|期待値 = <math>\mu</math>
|中央値 = <math>\mu</math>
|最頻値 = <math>\mu</math>
|分散 = <math>2b^2</math>
|歪度 = <math>0</math>
|尖度 = <math>3</math>
|エントロピー = <math>1+\log (2b)</math>
|モーメント母関数 = <math>\frac{\exp (\mu t)}{1-b^2 t^2} \text{ for }|t|<1/b</math>
|特性関数 = <math>\frac{\exp(i \mu t)}{1+b^2t^2}</math>
}}
'''ラプラス分布'''（ラプラスぶんぷ、{{lang-en-short|Laplace distribution}}）は[[連続確率分布]]の一つで、'''二重[[指数分布]]'''（{{lang-en-short|double exponential distribution}}）、'''両側指数分布'''とも呼ばれる。[[ラプラス変換]]で有名なフランスの数学者[[ピエール＝シモン・ラプラス]]によって名付けられた。

== 定義と性質 ==
確率変数を実数 {{mvar|x}} ({{math2|&minus;∞ < ''x'' < ∞}}) とするときのラプラス分布の[[確率密度関数]]は以下の式で定義される。
:<math>f(x; \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{b} \right)</math>
{{ill|位置母数|en|Location parameter}} <math>\mu</math>、{{ill|尺度母数|en|Scale parameter}} <math>b</math> について、
:<math>f(x; \mu, b) = \frac{1}{b} f\left( \frac{x-\mu}{b}; 0, 1 \right)</math>
[[累積分布関数]]は
:<math>\begin{align}
F(x; \mu, b) &= \begin{cases} \dfrac{1}{2} \exp \left( \dfrac{x - \mu}{b} \right) & (x < \mu) \\ 1 - \dfrac{1}{2} \exp \left( - \dfrac{x - \mu}{b} \right) & (x \ge \mu) \end{cases} \\
&= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \operatorname{sgn}(x - \mu) \left( 1 - \exp \left( - \frac{|x - \mu|}{b} \right) \right)
\end{align}</math>
期待値は {{mvar|μ}}、分散は {{math|2''b''{{sup|2}}}} である。[[歪度]]は {{math|0}}、[[尖度]]は {{math|3}} である。

== サンプリング ==
ラプラス分布の標本は以下の手法でランダムサンプリングできる。

=== 逆関数法 ===
ラプラス分布は[[逆関数法]]を用いることで[[連続一様分布|一様分布]]からランダムサンプリングできる。

[[累積分布関数]] <math>y \ (0 \leq y \leq 1)</math> の逆関数は <math>u = y - 1/2 \ (-1/2 \leq u \leq +1/2)</math> を用いて次のように表される。

:<math>x = \mu -b \sgn(u) \ln(1 - 2 \left\vert u \right\vert)</math>

ゆえに[[連続一様分布|一様分布]]からのサンプリング値 [[連続一様分布|<math>u \sim U(-1/2, +1/2)</math>]] を代入してラプラス分布からのランダムサンプリングが実現できる。

== 参考文献 ==
* 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、[[朝倉書店]] (2003).
* B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]

== 外部リンク ==
* [https://mathworld.wolfram.com/LaplaceDistribution.html Laplace Distribution -- from Wolfram MathWorld]

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:らふらすふんふ}}
[[Category:確率分布|らふらす]]
[[Category:ピエール＝シモン・ラプラス]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]