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'''ラプラス原理'''（ラプラスげんり、{{lang-en-short|Laplace principle, Laplace's principle}}）は{{仮リンク|大偏差原理|en|Large deviation principle}}に関する理論の基本的な定理である。ラプラス原理を一般化したものとして{{仮リンク|ヴァラダンの補題|en|Varadhan's lemma}}がある。ラプラス原理は、固定された集合 {{mvar|A}} 上の {{math|exp(&minus;''&theta;&phi;''(''x''))}} の[[ルベーグ積分]]が、{{mvar|&theta;}} を大きくしていったときにどのような漸近的な振る舞いを見せるかについて述べる。実際の例としては、[[統計力学]]において[[逆温度]]を無限大する極限、すなわち[[熱力学的温度|温度]]が[[絶対零度]]に近づくとき、その系がどのように振る舞うかを議論する際に、ラプラス原理が用いられている。

==ステートメント==

{{mvar|A}} を[[ルベーグ測度|ルベーグ可測]]な {{mvar|d}} 次元の[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{sup|''d''}}}} の[[部分集合]]とし、[[可測関数]] {{math|''&phi;'' : '''R'''<sup>''d''</sup> → '''R'''}} について

:<math>\int_A e^{- \varphi(x)} \, \mathrm{d} x < + \infty</math>

であるとする。このとき、以下の関係が成り立つ。

:<math>\lim_{\theta \to + \infty} \frac1{\theta} \log \int_{A} e^{- \theta \varphi(x)} \, \mathrm{d} x = - \mathop{\mathrm{ess \, inf}}_{x \in A} \varphi(x).</math>

ここで {{math|ess inf}} は[[本質的上限と本質的下限|本質的下限]] {{en|(essential infimum)}} を表す。充分大きな {{mvar|&theta;}} について、上の関係から次のような漸近表現が得られる。
:<math>\int_{A} e^{- \theta \varphi(x)} \, \mathrm{d} x \approx \exp \left( - \theta \mathop{\mathrm{ess \, inf}}_{x \in A} \varphi(x) \right).</math>

==応用==

ラプラス原理は以下に与える[[確率測度]] {{math|'''P'''<sub>''&theta;''</sub>}} の[[族 (数学)|族]]

:<math>\mathbf{P}_{\theta} (A) = \left( \int_{A} e^{- \theta \varphi(x)} \, \mathrm{d} x \right) \Big/ \left( \int_{\mathbf{R}^{d}} e^{- \theta \varphi(y)} \, \mathrm{d} y \right).</math>

に対して適用すれば、{{mvar|&theta;}} を大きくした場合の、ある事象（集合）{{mvar|A}} に対する確率の漸近表現を与えることができる。
たとえば {{mvar|X}} を {{math|'''R'''}} 上で[[正規分布]]する[[確率変数]]とすると、すべての[[測度論|可測集合]] {{mvar|A}} について

:<math>\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \varepsilon \log \mathbf{P} \big[ \sqrt{\varepsilon} X \in A \big] = - \mathop{\mathrm{ess \, inf}}_{x \in A} \frac{x^2}{2}</math>

という関係が成り立つ。

==参考文献==

* {{cite book
| last= Dembo
| first = Amir
|author2=Zeitouni, Ofer
 | title = Large deviations techniques and applications
| series = Applications of Mathematics (New York) 38
| edition = Second edition
| publisher = Springer-Verlag
| location = New York
| year = 1998
| pages = xvi+396
| isbn = 0-387-98406-2
| ref = harv
}} {{MathSciNet|id=1619036}}

== 関連項目 ==
* [[大偏差理論]]
* {{仮リンク|大偏差原理|en|Large deviation principle}}
* {{仮リンク|ヴァラダンの補題|en|Varadhan's lemma}}
* [[測度論]]
* [[確率論]]
* [[ルベーグ積分]]

{{確率論}}

{{DEFAULTSORT:らふらすけんり}}
[[Category:大偏差理論]]
[[Category:数学の原理]]
[[Category:漸近解析]]
[[Category:確率論の定理]]
[[Category:統計力学]]
[[Category:解析学の定理]]
[[Category:ピエール＝シモン・ラプラス]]
[[Category:数学に関する記事]]