ラプラス原理

ラプラス原理（ラプラスげんり、テンプレート:Lang-en-short）はテンプレート:仮リンクに関する理論の基本的な定理である。ラプラス原理を一般化したものとしてテンプレート:仮リンクがある。ラプラス原理は、固定された集合 テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Math のルベーグ積分が、テンプレート:Mvar を大きくしていったときにどのような漸近的な振る舞いを見せるかについて述べる。実際の例としては、統計力学において逆温度を無限大する極限、すなわち温度が絶対零度に近づくとき、その系がどのように振る舞うかを議論する際に、ラプラス原理が用いられている。

ステートメント

テンプレート:Mvar をルベーグ可測な テンプレート:Mvar 次元のユークリッド空間 テンプレート:Math の部分集合とし、可測関数 テンプレート:Math について

$\underset{A}{\int }{e}^{-\phi (x)}\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }$

であるとする。このとき、以下の関係が成り立つ。

$\underset{\theta \to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{\theta }\log \underset{A}{\int }{e}^{-\theta \phi (x)}\mathrm{d}x=-{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}_{x\in A}\phi (x).$

ここで テンプレート:Math は本質的下限 テンプレート:En を表す。充分大きな テンプレート:Mvar について、上の関係から次のような漸近表現が得られる。

$\underset{A}{\int }{e}^{-\theta \phi (x)}\mathrm{d}x\approx \exp (-\theta {\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}_{x\in A}\phi (x)).$

応用

ラプラス原理は以下に与える確率測度 テンプレート:Math の族

${𝐏}_{\theta }(A)=\left(\underset{A}{\int }{e}^{-\theta \phi (x)}\mathrm{d}x\right)/\left(\underset{{𝐑}^d}{\int }{e}^{-\theta \phi (y)}\mathrm{d}y\right).$

に対して適用すれば、テンプレート:Mvar を大きくした場合の、ある事象（集合）テンプレート:Mvar に対する確率の漸近表現を与えることができる。 たとえば テンプレート:Mvar を テンプレート:Math 上で正規分布する確率変数とすると、すべての可測集合 テンプレート:Mvar について

$\underset{\epsilon \downarrow 0}{\lim }\epsilon \log 𝐏[\sqrt{\epsilon }X\in A]=-{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}_{x\in A}\frac{x^2}{2}$

という関係が成り立つ。

参考文献

• テンプレート:Cite book テンプレート:MathSciNet

関連項目

• 大偏差理論
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• 測度論
• 確率論
• ルベーグ積分