ラマヌジャンの合同式のソースを表示

[[整数分割]]において、'''ラマヌジャンの合同式'''（ラマヌジャンのごうどうしき、{{lang-en-short|Ramanujan's congruences}}）は、[[分割数]]が満たす[[整除]]の関係式<ref name="Hardy1940_lecVI">[[#Hardy1940|G. H. Hardy (1940), Lecture VI]]</ref><ref name="Chan2011_chap16-20">[[#Chan2011|Hei-chi Chan (2011), chapter 16-20]]</ref>。インドの数学者[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]に因む。ラマヌジャンはイギリスの数学者[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ]]の勧めで渡英し、ハーディとの共同研究の中で分割数を研究した<ref>[[#Kanigel1991|Robert Kanigel (1991)]]</ref>。

== 定理 ==
{{math|4{{=}}4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1}}のように、正の整数 {{mvar|n}} をいくつかの正の整数の和として表すことを[[整数分割]]という。分割の仕方の総数を[[分割数]]といい、{{math|''p''(''n'')}} と表す。例えば、{{math|''p''(4){{=}}5}}である。分割数 {{math|''p''(''n'')}} は {{mvar|n}} が{{math|5''m''+4, 7''m''+5, 11''m''+6}} ({{math|''m''{{=}}0,1,2,..}}) であるとき、それぞれ、{{math|5, 7, 11}}で割り切れる。すなわち、
:<math> p(5m+4) \equiv 0 \pmod{5} </math>
:<math> p(7m+5) \equiv 0 \pmod{7} </math>
:<math> p(11m+6) \equiv 0 \pmod{11} </math>
が成り立つ。これらの関係式をラマヌジャンの合同式という。

イギリスの数学者で少佐でもある[[パーシー・アレクサンダー・マクマホン]]は {{math|''n''{{=}}200}} までの分割数 {{math|''p''(''n'')}} を計算し、その表を作成した。マクマホンの表からラマヌジャンはこれらの関係式が成り立っていることに気づき、1919年に1番目と2番目の関係式の証明を与えた<ref name="Ramanujan1919">[[#Ramanujan1919|S. Ramanujan, ''Proc. Cambridge Philos. Soc.'' (1919)]]</ref>。3番目の関係式については、ラマヌジャンの没後、1921年にハーディによってラマヌジャンの証明の論文が出版された<ref name="Ramanujan1921">[[#Ramanujan1921|S. Ramanujan, ''Mathematische Zeitschrift'' (1921)]]</ref>

実際に {{math|''p''(5''m''+4)}}, {{math|''p''(7''m''+5)}}, {{math|''p''(11''m''+6)}}のいくつかを書き下すと次のようになる<ref>[[#Hardy_Ramanujan1918|G .H. Hardy and S. Ramanujan (1918)]], 論文中のマクマホンによる表</ref>。
{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
!m!!0!!1!!2!!3!!4!!5!!6!!7!!8!!9!!10
|-
!5m+4
||4||9||14||19||24||29||34||39||44||49||54
|-
!p(5m+4)
||5||30||135||490||1575||4565||12310||31185||75175||173525||386155
|}
{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
!m!!0!!1!!2!!3!!4!!5!!6!!7!!8!!9!!10
|-
!7m+5
||5||12||19||26||33||40||47||54||61||68||75
|-
!p(7m+5)
||7||77||490||2436||10143||37338||124754||386155||1121505||3087735||8118264
|}
{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
!m!!0!!1!!2!!3!!4!!5!!6!!7!!8!!9!!10
|-
!11m+6

||6||17||28||39||50||61||72||83||94||105||116
|-
!p(11m+6)
||11||297||3718||31185||204226||1121505||5392783||23338469||92669720||342325709||1188908248
|}

ラマヌジャンの合同式はある素数 {{mvar|l}} とある整数 {{mvar|&beta;}} について、
:<math> p(lm+\beta)\equiv 0 \pmod{l}, \,m=0,1,2,\cdots</math>
の形をしている。ラマヌジャン自身はこうした合同式は稀であると考えていたが、スコット・アールグレンとマシュー・ボイランは、この関係式を満たす素数 {{mvar|l}}と整数 {{mvar|&beta;}} ({{math|0 &le; ''&beta;'' &le; ''l''-1}})の組が {{math|(''l'', ''&beta;''){{=}}(5,4), (7, 5), (11, 6)}}、すなわち、ラマヌジャンの合同式の場合に限られることを示した<ref>[[#Ahlgren_Boylan2003|S. Ahlgren and M. Boylan, ''Invent. Math.'' (2003)]]</ref>。

== 拡張 ==
1919年の論文でラマヌジャンは、さらに以下の関係式が成り立つことを予想した<ref name="Ramanujan1919"></ref>。
:<math> p(5^nm+\lambda_{5,n}) \equiv 0  \pmod{5^n}</math>
:<math> p(7^nm+\lambda_{7,n}) \equiv 0  \pmod{7^n}</math>
:<math> p(11^nm+\lambda_{11,n}) \equiv 0 \pmod{11^n}</math>
但し、{{math|&lambda;<sub>''p'',''n''</sub>}}は
:<math> 24 \lambda_{p,n} \equiv 1 \pmod{p^n} </math>
を満たす正の整数である。これらの予想は、
:<math> 24 \lambda \equiv 1 \pmod{5^a7^b11^c} </math>
ならば、すべての{{math|''m''{{=}}0,1,2,..}} に対して
:<math> p(5^a7^b11^cm+\lambda) \equiv 0 \pmod{5^a7^b11^c} </math>
が成り立つ、とまとめることができる。この場合も、証明は{{math|5<sup>''a''</sup>, 7<sup>''b''</sup>, 11<sup>''c''</sup>}}の場合をそれぞれ考えればよく、その他の場合は系として得られる。

ラマヌジャンは{{math|5<sup>2</sup>}}と{{math|7<sup>2</sup>}}の場合の証明のあらましを記している。しかしながら、1934年に{{仮リンク|サーバダマン・チョウラ|en|Sarvadaman Chowla}}は{{math|7<sup>3</sup>}}での反例を見出した<ref>[[#Chowla1934|S. Cholwa, ''J. London Math. Soc.'' (1934)]]</ref>。
:<math> 24 \cdot 243 \equiv 1 \quad (\text{mod} \,\,\, 7^3) </math>
であるが、
:<math> p(243)=133978259344888 </math>
は、{{math|7<sup>3</sup>}}では割り切れない。1938年に{{仮リンク|ジョージ・ネヴィル・ワトソン|en|G. N. Watson}}は、 {{math|7<sup>''b''</sup>}}の場合については{{math|7<sup>[(''b''+2)/2]</sup>}}と補正すれば、正しいことを示した<ref name="Watson1938">[[#Watson1938|G. N. Watson, ''J. Reine. Angew. Math.'' (1938)]]</ref>。
このとき、修正された予想は
:<math> 24 \lambda \equiv 1 \pmod{5^a7^b11^c} </math>
ならば、
:<math> p(5^a7^b11^cm+\lambda) \equiv 0 \quad (\text{mod} \,\,\,5^a7^{\beta}11^c), \, \beta=\biggl [\frac{b+2}{2} \biggl ] </math>
となる。ワトソンはこの修正された予想において、{{math|5<sup>''a''</sup>, 7<sup>''b''</sup>}}の場合の証明を与えた<ref name="Watson1938"></ref>。さらに、1967年に{{仮リンク|オリバー・アトキン|en|A. O. L. Atkin}}は{{math|11<sup>''c''</sup>}}について証明を与え<ref>[[#Atkin1967|A. O. L. Atkin, ''Glascow Math. J.'' (1967)]]</ref>、最終的にこの予想が正しいことが結論された。

== 母関数による証明 ==
ラマヌジャンの合同式の証明の代表的な方法の一つは、[[母関数]]の議論に基づくものである<ref name="Hardy1940_lecVI"></ref><ref name="Chan2011_chap16-20"></ref>。ラマヌジャン自身も1919年の論文で、5と7を法としたときの合同式の証明に母関数の方法を用いた<ref name="Ramanujan1919"></ref>。次の2つの式は、{{math|''p''(5''n''+4)}}と {{math|''p''(7''n''+5)}} の母関数の表示を直接与えている<ref group="注">ラマヌジャンは1919年の論文では母関数のやや異なる方法で証明している。同論文で、ラマヌジャンは証明とは別にこの2つの関係式に言明したが、この2つの式については完全な証明を示さなかった。詳細は[[#Hardy1940|G. H. Hardy (1940), Lecture VI]]を参照。</ref>。
:<math>
\sum_{n=0}^{\infty}{p(5n+4)q^n}=5 \frac{\prod_{n=1}^{\infty}{(1-q^{5n})^5}}{\prod_{n=1}^{\infty}{(1-q^n)^6}}
</math>
:<math>
\sum_{n=0}^{\infty}{p(7n+5)q^n}=7 \frac{\prod_{n=1}^{\infty}{(1-q^{7n})^3}}{\prod_{n=1}^{\infty}{(1-q^n)^4}}+
49q \frac{\prod_{n=1}^{\infty}{(1-q^{7n})^7}}{\prod_{n=1}^{\infty}{(1-q^n)^8}}
</math>
右辺を {{mvar|q}} のべき乗で展開したときに、{{math|''q<sup>n</sup>''}}の係数は1番目の式では {{math|''p''(5''n''+4)}} となるが、これは{{math|5}}で割り切れる。同様に、{{math|''q<sup>n</sup>''}} の係数は2番目の式では {{math|''p''(7''n''+5)}} となるが、これは{{math|7}}で割り切れる。すなわち、{{math|''p''(5''n''+4) &equiv; 0 (mod 5)}} と {{math|''p''(7''n''+5) &equiv; 0 (mod 7)}} が成り立つ。なお、[[q-解析|{{mvar|q}}-解析]]で使用される[[qポッホハマー記号|{{mvar|q}}-ポッホハマー記号]]
:<math>
(a;q)_{n}=  \begin{cases} (1-aq)(1-aq^2)\cdots (1-aq^{n-1})& (n>0)\\
 1 & (n = 0)\end{cases}
</math>
を用いれば、
:<math>
\sum_{n=0}^{\infty}{p(5n+4)q^n}=5 \frac{(q^5;q^5)_{\infty}^5}{(q;q)_{\infty}^6}
</math>
:<math>
\sum_{n=0}^{\infty}{p(7n+5)q^n}=7 \frac{(q^7;q^7)_{\infty}^3}{(q;q)_{\infty}^4}+
49q \frac{(q^7;q^7)_{\infty}^7}{(q;q)_{\infty}^8}
</math>
と表すことができる。

== 分割のランク・クランク ==
1944年に[[フリーマン・ダイソン]]は{{仮リンク|分割のランク|en|Rank of a partition}}(rank)と呼ばれる量を導入し、5と7を法としたときのラマヌジャンの合同式の組合せ論的解釈に関する予想を提示した<ref>[[#Dyson1944|F. Dyson, ''Eureka'' (1944)]]</ref><ref name="Chan2011_chap14">[[#Chan2011|Hei-chi Chan (2011), chapter 14]]</ref>。さらにダイソンは{{仮リンク|分割のクランク|en|Crank of a partition}}(crank)と呼ばれる量が存在することを予想し、11を法としたときについても組合せ論的解釈が可能であることを予言した。ダイソンが導入したランクは分割における最大の和因子から和因子の個数（分割の長さ）を引いた差で定義される。正の整数 {{mvar|n}} のランク {{mvar|m}} の分割の個数を {{math|''N''(''m'', ''n'')}} と表し、{{mvar|t}} を法としたときにランクが {{mvar|m}} と合同な分割の個数を {{math|''N''(''m'', ''t'', ''n'')}} と表す<ref group="注">
{{math|''N''(''m'', ''n'')}} と {{math|''N''(''m'', ''t'', ''n'')}} は
:<math> N(m,t,n) = \sum_{r=-\infty}^\infty N( m + rt, n)</math>
の関係にある。</ref>。ダイソンは
:<math>
\begin{align}
N(0,5,5n+4)=& N(1,5,5n+4)=N(2,5,5n+4) \\
=& N(3,5,5n+4)=N(4,5,5n+4) \\
=& \frac{p(5n+4)}{5}
\end{align}
</math>
:<math>
\begin{align}
N(0,7,7n+5)=&N(1,7,7n+5)=N(2,7,7n+5) \\
=&N(3,7,7n+5)=N(4,7,7n+5) \\
=&N(5,7,7n+5)=N(6,7,7n+5) \\
=& \frac{p(7n+5)}{7}
\end{align}
</math>
が成り立つこと予想した。この予想が成り立てば、明らかに {{math|''p''(5''n''+4)}} は{{math|5}}で割り切れ、{{math|''p''(7''n''+5)}} は{{math|7}}で割り切れることになる。このランクに関するダイソンの予想が正しいことは、オリバー・アトキンと{{仮リンク|ピーター・スウィナートン-ダイアー|en|Peter Swinnerton-Dyer}}によって、1954年に証明された<ref>[[#Atkin_Swinnerton-Dyer1954|A. O. L. Atkin and H. P. F. Swinnerton-Dyer, Proc. London Math. Soc.(1954)]]</ref>。また、ダイソンが予想した性質を持つクランクは、1988年に{{仮リンク|ジョージ・アンドリュース|en|George Andrews (mathematician)}}と{{仮リンク|フランク・ガーバン|en|Frank Garvan}}によって発見された<ref>[[#Andrews_Garvan1988|G. Andrews and F. Garvan, ''Bull. Am. Math. Soc.''(1988)]]</ref>。

==脚注==
=== 注 ===
{{reflist|group="注"}}

=== 出典 ===
{{reflist|30em}}

== 参考文献 ==
=== 書籍 ===
*{{Cite book|
|title= Integer Partitions  
|first1=George E.
|last1=Andrews
|first2=Eriksson
|last2=Kimmo
|publisher=Cambridge University Press
|year=2004
|edition=2nd
|isbn=978-0521600903
|ref=Andrew_Eriksson2004}}; {{Cite book |和書
|title= 整数の分割
|author1= ジョージ・アンドリュース 
|authorlink1=ジョージ・アンドリュース
|author2= キムモ・エリクソン
|authorlink2=キムモ・エリクソン
|others=佐藤文広（訳）
|publisher=数学書房
|year=2006
|isbn=978-4903342610
|ref=Andrew_Eriksson2006 }}
*{{Cite book |
|title= An Invitation to q-Series: From Jacobi's Triple Product Identity to Ramanujan's "Most Beautiful Identity"
|first1=Hei-chi 
|last1=Chan
|publisher=World Scientific
|isbn= 978-9814343848
|year=2011
|ref=Chan2011}}
*{{Cite book |
|title= Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work
|first1=G. H.
|last1=Hardy
|authorlink1=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ
|publisher=Cambridge University Press
|year=1940
|ref=hardy1940 }}, Reiisued AMS Chelsea (1999); {{Cite book |和書
|title= ラマヌジャン その生涯と業績に想起された主題による十二の講義
|author1=G.H. ハーディ
|authorlink1=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ
|others= 髙瀬幸一（訳）
|series=数学クラシックス
|publisher=丸善出版
|year=2016
|isbn=978-4621065297
|ref=Hardy2016 }}
*{{Cite book|
|title= The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan
|first1=Robert
|last1=Kanigel
|publisher=Scribner
|year=1991
|isbn= 978-0684192598
|ref=Kanige1991}}; {{Cite book |和書
|title= 無限の天才 －夭逝の数学者・ラマヌジャン
|author1= ロバート・カニーゲル
|others=田中靖夫（訳）
|publisher=工作舎
|year=2016
|edition=新装版
|isbn=978-4-875024767
|ref=Kanigel2016}}

=== 論文 ===
*{{Citation 
|first1= S.
|last1=Ahlgren
|first2= M.
|last2=Boylan
|title=Arithmetic properties of the partition function
|journal=Invent. Math.
|volume=153
|year=2003
|pages=487-502
|doi=10.1007/s00222-003-0295-6
|ref=Ahlgren_Boylan2003}}
*{{Citation 
|first1= G.
|last1=Andrews
|first2= F.
|last2=Garvan
|title=Dyson's crank of a partition
|journal= Bull. Am. Math. Soc. 
|volume=18
|year=1988
|pages=167-171
|url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.bams/1183554533
|ref=Andrews_Garvan1988}}
*{{Citation 
|first1= A. O. L.
|last1=Atkin
|first2= H. P. F.
|last2=Swinnerton-Dyer
|title=Some properties of partitions
|journal= Proc. London Math. Soc. 
|volume=66
|year=1954
|pages=84-106
|doi=10.1112/plms/s3-4.1.84
|ref=Atkin_Swinnerton-Dyer1954}}
*{{Citation 
|first1= A. O. L.
|last1=Atkin
|title=Proof of a conjecture of Ramanujan
|journal=Glascow Math. J.
|volume=8
|year=1967
|pages=97-128
|doi=10.1017/S0017089500000045
|ref=Atkin1967}}
*{{Citation 
|first1=S. 
|last1=Chowla
|title=Congruence properties of partitions
|journal=J. London Math. Soc.
|volume=9 
|year=1934
|pages=247
|doi=10.1112/jlms/s1-9.4.247a
|ref=Chowla1934}}
*{{Citation 
|first1= F.
|last1=Dyson
|title=Some guesses in the theory of partitions
|journal=Eureka (Cambridge)
|volume=8
|year=1944
|pages=10-15
|url=https://books.google.com/books?id=nnyNUidX1OMC&pg=PA51&lpg=PA51
|ref=Dyson1944}}
*{{Citation 
|first1= G. H.
|last1=Hardy
|first2= S.
|last2=Ramanujan
|title=Asymptotic Formulaæ in Combinatory Analysis
|journal=Proc. London Math. Soc.
|volume=s2-17
|year=1918
|pages=75-115
|doi=10.1112/plms/s2-17.1.75
|ref=Hardy_Ramanujan1918}}
*{{Citation 
|first1= S.
|last1=Ramanujan
|title=Some properties of p(n), the number of partitions of n
|journal=Proc. Cambridge Philos. Soc.
|volume=19
|year=1919
|pages=207-210
|ref=Ramanujan1919}}
*{{Citation 
|first1= S.
|last1=Ramanujan
|title=Congruence properties of partitions
|journal=Mathematische Zeitschrift
|volume=9
|year=1921
|pages=147-153
|doi=10.1007/bf01378341
|ref=Ramanujan1921}}
*{{Citation 
|first1= G. N.
|last1=Watson
|title=Ramanujans Vermutung über Zerfällungszahlen.
|journal=J. Reine. Angew. Math.
|volume=179
|year=1938
|pages=97-128
|doi=10.1515/crll.1938.179.97
|ref=Watson1938}}

== 外部リンク ==
*{{mathworld|urlname=PartitionFunctionPCongruences|title=Partition Function P Congruences}}

== 関連項目 ==
* [[分割数]]

{{DEFAULTSORT:らまぬしやんのこうとうしき}}
[[Category:数論]]
[[Category:同値 (数学)]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]