ラマヌジャンの合同式

整数分割において、ラマヌジャンの合同式（ラマヌジャンのごうどうしき、テンプレート:Lang-en-short）は、分割数が満たす整除の関係式。インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンに因む。ラマヌジャンはイギリスの数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディの勧めで渡英し、ハーディとの共同研究の中で分割数を研究した。

定理

テンプレート:Mathのように、正の整数 テンプレート:Mvar をいくつかの正の整数の和として表すことを整数分割という。分割の仕方の総数を分割数といい、テンプレート:Math と表す。例えば、テンプレート:Mathである。分割数 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar がテンプレート:Math (テンプレート:Math) であるとき、それぞれ、テンプレート:Mathで割り切れる。すなわち、

$p(5m+4)\equiv 0(\mathrm{mod}5)$

$p(7m+5)\equiv 0(\mathrm{mod}7)$

$p(11m+6)\equiv 0(\mathrm{mod}11)$

が成り立つ。これらの関係式をラマヌジャンの合同式という。

イギリスの数学者で少佐でもあるパーシー・アレクサンダー・マクマホンは テンプレート:Math までの分割数 テンプレート:Math を計算し、その表を作成した。マクマホンの表からラマヌジャンはこれらの関係式が成り立っていることに気づき、1919年に1番目と2番目の関係式の証明を与えた。3番目の関係式については、ラマヌジャンの没後、1921年にハーディによってラマヌジャンの証明の論文が出版された

実際に テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Mathのいくつかを書き下すと次のようになる。

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5m+4	4	9	14	19	24	29	34	39	44	49	54
p(5m+4)	5	30	135	490	1575	4565	12310	31185	75175	173525	386155

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
7m+5	5	12	19	26	33	40	47	54	61	68	75
p(7m+5)	7	77	490	2436	10143	37338	124754	386155	1121505	3087735	8118264

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11m+6	6	17	28	39	50	61	72	83	94	105	116
p(11m+6)	11	297	3718	31185	204226	1121505	5392783	23338469	92669720	342325709	1188908248

ラマヌジャンの合同式はある素数 テンプレート:Mvar とある整数 テンプレート:Mvar について、

$p(lm+\beta )\equiv 0(\mathrm{mod}l),m=0,1,2,\cdots$

の形をしている。ラマヌジャン自身はこうした合同式は稀であると考えていたが、スコット・アールグレンとマシュー・ボイランは、この関係式を満たす素数 テンプレート:Mvarと整数 テンプレート:Mvar (テンプレート:Math)の組が テンプレート:Math、すなわち、ラマヌジャンの合同式の場合に限られることを示した。

拡張

1919年の論文でラマヌジャンは、さらに以下の関係式が成り立つことを予想した。

$p(5^{n}m+{\lambda }_{5,n})\equiv 0(\mathrm{mod}{5}^n)$

$p(7^{n}m+{\lambda }_{7,n})\equiv 0(\mathrm{mod}{7}^n)$

$p(11^{n}m+{\lambda }_{11,n})\equiv 0(\mathrm{mod}11^n)$

但し、テンプレート:Mathは

$24{\lambda }_{p,n}\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^n)$

を満たす正の整数である。これらの予想は、

$24\lambda \equiv 1(\mathrm{mod}{5}^a{7}^{b}11^c)$

ならば、すべてのテンプレート:Math に対して

$p(5^a{7}^{b}11^{c}m+\lambda )\equiv 0(\mathrm{mod}{5}^a{7}^{b}11^c)$

が成り立つ、とまとめることができる。この場合も、証明はテンプレート:Mathの場合をそれぞれ考えればよく、その他の場合は系として得られる。

ラマヌジャンはテンプレート:Mathとテンプレート:Mathの場合の証明のあらましを記している。しかしながら、1934年にテンプレート:仮リンクはテンプレート:Mathでの反例を見出した。

$24\cdot 243\equiv 1(\text{mod}{7}^3)$

であるが、

$p(243)=133978259344888$

は、テンプレート:Mathでは割り切れない。1938年にテンプレート:仮リンクは、 テンプレート:Mathの場合についてはテンプレート:Mathと補正すれば、正しいことを示した。 このとき、修正された予想は

$24\lambda \equiv 1(\mathrm{mod}{5}^a{7}^{b}11^c)$

ならば、

$p(5^a{7}^{b}11^{c}m+\lambda )\equiv 0(\text{mod}{5}^a{7}^{\beta }11^c),\beta =\left[\frac{b+2}{2}\right]$

となる。ワトソンはこの修正された予想において、テンプレート:Mathの場合の証明を与えた。さらに、1967年にテンプレート:仮リンクはテンプレート:Mathについて証明を与え、最終的にこの予想が正しいことが結論された。

母関数による証明

ラマヌジャンの合同式の証明の代表的な方法の一つは、母関数の議論に基づくものである。ラマヌジャン自身も1919年の論文で、5と7を法としたときの合同式の証明に母関数の方法を用いた。次の2つの式は、テンプレート:Mathと テンプレート:Math の母関数の表示を直接与えている。

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(5n+4)q^n=5\frac{\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{5n}{)}^5}{\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n{)}^6}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(7n+5)q^n=7\frac{\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{7n}{)}^3}{\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n{)}^4}+49q\frac{\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{7n}{)}^7}{\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n{)}^8}$

右辺を テンプレート:Mvar のべき乗で展開したときに、テンプレート:Mathの係数は1番目の式では テンプレート:Math となるが、これはテンプレート:Mathで割り切れる。同様に、テンプレート:Math の係数は2番目の式では テンプレート:Math となるが、これはテンプレート:Mathで割り切れる。すなわち、テンプレート:Math と テンプレート:Math が成り立つ。なお、[[q-解析|テンプレート:Mvar-解析]]で使用される[[qポッホハマー記号|テンプレート:Mvar-ポッホハマー記号]]

$(a;q{)}_n=\{\begin{array}{cc}(1-aq)(1-a{q}^2)\cdots (1-a{q}^{n-1})& (n>0)\\ 1& (n=0)\end{array}$

を用いれば、

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(5n+4)q^n=5\frac{(q^5;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}^5}{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}^6}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(7n+5)q^n=7\frac{(q^7;q^7{)}_{\mathrm{\infty }}^3}{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}^4}+49q\frac{(q^7;q^7{)}_{\mathrm{\infty }}^7}{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}^8}$

と表すことができる。

分割のランク・クランク

1944年にフリーマン・ダイソンはテンプレート:仮リンク(rank)と呼ばれる量を導入し、5と7を法としたときのラマヌジャンの合同式の組合せ論的解釈に関する予想を提示した。さらにダイソンはテンプレート:仮リンク(crank)と呼ばれる量が存在することを予想し、11を法としたときについても組合せ論的解釈が可能であることを予言した。ダイソンが導入したランクは分割における最大の和因子から和因子の個数（分割の長さ）を引いた差で定義される。正の整数 テンプレート:Mvar のランク テンプレート:Mvar の分割の個数を テンプレート:Math と表し、テンプレート:Mvar を法としたときにランクが テンプレート:Mvar と合同な分割の個数を テンプレート:Math と表す。ダイソンは

$\begin{array}{cc}N(0,5,5n+4)=& N(1,5,5n+4)=N(2,5,5n+4)\\ =& N(3,5,5n+4)=N(4,5,5n+4)\\ =& \frac{p(5n+4)}{5}\end{array}$

$\begin{array}{cc}N(0,7,7n+5)=& N(1,7,7n+5)=N(2,7,7n+5)\\ =& N(3,7,7n+5)=N(4,7,7n+5)\\ =& N(5,7,7n+5)=N(6,7,7n+5)\\ =& \frac{p(7n+5)}{7}\end{array}$

が成り立つこと予想した。この予想が成り立てば、明らかに テンプレート:Math はテンプレート:Mathで割り切れ、テンプレート:Math はテンプレート:Mathで割り切れることになる。このランクに関するダイソンの予想が正しいことは、オリバー・アトキンとテンプレート:仮リンクによって、1954年に証明された。また、ダイソンが予想した性質を持つクランクは、1988年にテンプレート:仮リンクとテンプレート:仮リンクによって発見された。

参考文献

書籍

• テンプレート:Cite book; テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book, Reiisued AMS Chelsea (1999); テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book; テンプレート:Cite book

論文

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外部リンク

• テンプレート:Mathworld

関連項目

• 分割数