ラマヌジャンの和公式のソースを表示

'''ラマヌジャンの和公式'''（ラマヌジャンのわこうしき、Ramanujan's summation formula）は、[[q超幾何級数]]<math>{_1\psi_1}</math>の和を与える公式である<ref>[http://www.gbspublisher.com/ijpamsv3/ijpamsv3n1_9.pdf Kim (2006), Transformations of Ramanujan's Summation Formula and its Application]</ref>。
:<math>{_1\psi_1}\left[\begin{matrix}a\\b\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{b}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(b;q)_\infty\left(\frac{b}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\qquad(|q|<1,|b/a|<|z|<1)</math>

== 証明 ==
ラマヌジャンの和公式は[[q二項定理]]から導かれる。<math>n</math>が負の整数であれば
:<math>\frac{1}{(q;q)_n}=\frac{1}{\displaystyle\prod_{k=n}^{-1}\frac{1}{(1-q^{1+k})}}=\prod_{k=n}^{-1}(1-q^{1+k})=0\qquad(-n\in\mathbb{N})</math>
であるから、q二項定理は
:<math>\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n</math>
と書ける。<math>k</math>を任意の正の整数として
:<math>\begin{align}\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n+k}}z^{n+k}\\
&=\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}z^k\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(aq^k;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^n\\
\end{align}</math>
であるから
:<math>\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(aq^k;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^{n}
&=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_k}{(z;q)_\infty(a;q)_k}z^{-k}\\
&=\frac{(az;q)_k(aq^kz;q)_\infty(q;q)_k}{(z;q)_\infty(a;q)_k}z^{-k}\\
&=\frac{(az;q)_k(aq^kz;q)_\infty(q;q)_\infty}{(z;q)_\infty(a;q)_k(q^{1+k};q)_\infty}z^{-k}\\
&=\frac{(aq^kz;q)_\infty(q;q)_\infty(aq^kq^{-k}z;q)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty(aq^kq^{-k};q)_k}z^{-k}\\
\end{align}</math>
である。<math>aq^k</math>を<math>a</math>と書き、[[qポッホハマー記号#変換式|qポッホハマー記号の変換式]]
:<math>\left(aq^{-n};q\right)_n=\left(-\frac{a}{q}\right)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\frac{q}{a};q\right)_n</math>
により
:<math>\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^{n}
&=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty(aq^{-k}z;q)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty(aq^{-k};q)_k}z^{-k}\\
&=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_k}\\
&=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q^{1+k}}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty\left(\frac{q^{1+k}}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\\
\end{align}</math>
となり、<math>q^{1+k}</math>を<math>b</math>と書き、
:<math>\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}
&=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{b}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(b;q)_\infty\left(\frac{b}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\qquad(b=q^k,k\in\mathbb{N})\\
\end{align}</math>
となる。さて、左辺は
:<math>\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_{-n}}{(b;q)_{-n}}z^{-n}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(bq^{-n};q)_n}{(aq^{-n};q)_n}z^{-n}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(\frac{q}{b};q\right)_n}{\left(\frac{q}{a};q\right)_n}\left(\frac{b}{az}\right)^n\\
\end{align}</math>
であるから、<math>|q|<1,|z|<1,|b|<|az|,|b|<1,|a|>|q|</math>で収束する。従って、両辺とも<math>b</math>の関数として考えれば<math>b=0</math>で[[正則関数|正則]]であり、<math>b=q^k\to0</math>で両辺が一致するから[[一致の定理]]により大局的にも一致する。

== 出典 ==
<references/>

== 関連項目 ==
* [[ヴィノグラードフの定理]]


{{DEFAULTSORT:らまぬしやんのわこうしき}}
[[Category:数論]]
[[Category:シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]
[[Category:数学に関する記事]]