ラマヌジャンの和公式

ラマヌジャンの和公式（ラマヌジャンのわこうしき、Ramanujan's summation formula）は、q超幾何級数 $_{1} ψ_{1}$ の和を与える公式である^[1]。

_{1} ψ_{1} [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} z^{n} = \frac{(a z; q)_{\infty} (q; q)_{\infty} {(\frac{q}{a z}; q)}_{\infty} {(\frac{b}{a}; q)}_{\infty}}{(z; q)_{\infty} (b; q)_{\infty} {(\frac{b}{a z}; q)}_{\infty} {(\frac{q}{a}; q)}_{\infty}} (| q | < 1, | b / a | < | z | < 1)

証明

ラマヌジャンの和公式はq二項定理から導かれる。 $n$ が負の整数であれば

\frac{1}{(q; q)_{n}} = \frac{1}{\prod_{k = n}^{- 1} \frac{1}{(1 - q^{1 + k})}} = \prod_{k = n}^{- 1} (1 - q^{1 + k}) = 0 (- n \in ℕ)

であるから、q二項定理は

\frac{(a z; q)_{\infty}}{(z; q)_{\infty}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} z^{n} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} z^{n}

と書ける。 $k$ を任意の正の整数として

\begin{matrix} \frac{(a z; q)_{\infty}}{(z; q)_{\infty}} & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} z^{n} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n + k}} z^{n + k} \\ = \frac{(a; q)_{k}}{(q; q)_{k}} z^{k} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a q^{k}; q)_{n}}{(q^{1 + k}; q)_{n}} z^{n} \end{matrix}

であるから

\begin{matrix} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a q^{k}; q)_{n}}{(q^{1 + k}; q)_{n}} z^{n} & = \frac{(a z; q)_{\infty} (q; q)_{k}}{(z; q)_{\infty} (a; q)_{k}} z^{- k} \\ = \frac{(a z; q)_{k} (a q^{k} z; q)_{\infty} (q; q)_{k}}{(z; q)_{\infty} (a; q)_{k}} z^{- k} \\ = \frac{(a z; q)_{k} (a q^{k} z; q)_{\infty} (q; q)_{\infty}}{(z; q)_{\infty} (a; q)_{k} (q^{1 + k}; q)_{\infty}} z^{- k} \\ = \frac{(a q^{k} z; q)_{\infty} (q; q)_{\infty} (a q^{k} q^{- k} z; q)_{k}}{(z; q)_{\infty} (q^{1 + k}; q)_{\infty} (a q^{k} q^{- k}; q)_{k}} z^{- k} \end{matrix}

である。 $a q^{k}$ を $a$ と書き、qポッホハマー記号の変換式

{(a q^{- n}; q)}_{n} = {(- \frac{a}{q})}^{n} q^{- n (n - 1) / 2} {(\frac{q}{a}; q)}_{n}

により

\begin{matrix} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q^{1 + k}; q)_{n}} z^{n} & = \frac{(a z; q)_{\infty} (q; q)_{\infty} (a q^{- k} z; q)_{k}}{(z; q)_{\infty} (q^{1 + k}; q)_{\infty} (a q^{- k}; q)_{k}} z^{- k} \\ = \frac{(a z; q)_{\infty} (q; q)_{\infty} {(\frac{q}{a z}; q)}_{k}}{(z; q)_{\infty} (q^{1 + k}; q)_{\infty} {(\frac{q}{a}; q)}_{k}} \\ = \frac{(a z; q)_{\infty} (q; q)_{\infty} {(\frac{q}{a z}; q)}_{\infty} {(\frac{q^{1 + k}}{a}; q)}_{\infty}}{(z; q)_{\infty} (q^{1 + k}; q)_{\infty} {(\frac{q^{1 + k}}{a z}; q)}_{\infty} {(\frac{q}{a}; q)}_{\infty}} \end{matrix}

となり、 $q^{1 + k}$ を $b$ と書き、

\begin{matrix} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} z^{n} & = \frac{(a z; q)_{\infty} (q; q)_{\infty} {(\frac{q}{a z}; q)}_{\infty} {(\frac{b}{a}; q)}_{\infty}}{(z; q)_{\infty} (b; q)_{\infty} {(\frac{b}{a z}; q)}_{\infty} {(\frac{q}{a}; q)}_{\infty}} (b = q^{k}, k \in ℕ) \end{matrix}

となる。さて、左辺は

\begin{matrix} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} z^{n} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} z^{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(a; q)_{- n}}{(b; q)_{- n}} z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} z^{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(b q^{- n}; q)_{n}}{(a q^{- n}; q)_{n}} z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} z^{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(\frac{q}{b}; q)}_{n}}{{(\frac{q}{a}; q)}_{n}} {(\frac{b}{a z})}^{n} \end{matrix}

であるから、 $| q | < 1, | z | < 1, | b | < | a z |, | b | < 1, | a | > | q |$ で収束する。従って、両辺とも $b$ の関数として考えれば $b = 0$ で正則であり、 $b = q^{k} \to 0$ で両辺が一致するから一致の定理により大局的にも一致する。

出典

↑ Kim (2006), Transformations of Ramanujan's Summation Formula and its Application

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