ランキン渦のソースを表示

'''ランキン渦'''または'''ランキンの結合渦'''（{{lang-en-short|Rankine's combined vortex}}）とは、[[渦度]]分布の一様な中核部分と、その外側の[[渦なしの流れ|渦なし]]の部分からなる[[渦]]である<ref name=imai>{{cite|和書 |author=[[今井功 (物理学者)|今井功]] |title=流体力学（前編）|edition=24 |publisher=裳華房 |year=1997 |isbn=4-7853-2314-0 |pages=177-179}}</ref>。日常的に水面などに見られる渦<ref>このような渦では、渦度は中心付近で最大である。</ref>を[[流体力学]]で考察する際に、単純化された近似モデルとして使われる。

== 概要　==
ランキン渦が考察の対象とするのは、自由表面を持つ水が鉛直軸の周りに回転している状況である。水面には大気圧 <math>p_\infty</math> がかかっているとする。

また、次の仮定を行う：
* 流体は[[完全流体]]である。
* 流速は高さ <math>z</math> 方向の成分を持たず、また <math>z</math> に依存しない。すなわち2次元流れである。
* 外力（ここでは重力）はポテンシャルを持つ[[保存力]]である。

これを、半径 <math>a</math> の円内に渦度 <math>\omega</math> が一様に分布し、円外は渦なしであるものと考えると、渦の中心から半径 <math>r</math> の位置の速度 <math>v</math> は円周方向成分のみを持ち、
:<math>v(r)=\begin{cases}
\dfrac{\omega}{2}r, &\quad(r<a),\\
\dfrac{\omega}{2}\dfrac{a^2}{r}, &\quad(r>a)
\end{cases}</math>
となる<ref name=imai/>。一方、圧力 <math>p</math> は、高さを <math>z</math> で表すと次のように表される<ref name=tatsumi>{{cite|和書 |author=巽友正 |title=流体力学 |publisher=培風館 |year=1982 |isbn=4-563-02421-X |pages=189-190}}</ref>：
:<math>p(r,z)=\begin{cases}
\dfrac{\rho}{8}\omega^2r^2-\rho gz, &\quad(r<a),\\
\dfrac{\rho}{8}\omega^2a^2\left(2-\dfrac{a^2}{r^2}\right)-\rho gz, &\quad(r>a)\\
\end{cases}</math>
ここで <math>\rho</math> は流体の密度、 <math>g</math> は重力加速度である。 

無限遠での水面の高さを <math>z = 0</math> とすると、自由表面の圧力 <math>p_\infty</math> は <math>z = 0, r \rightarrow \infty</math> での圧力に等しいから
:<math>p_\infty=\frac{\rho}{4}\omega^2a^2</math>
が成り立ち、これを用いて上式を書き換えれば、
:<math>p(r,z)=\begin{cases}
\dfrac{p_\infty}{2}\dfrac{r^2}{a^2}-\rho gz, &\quad(r<a),\\
\dfrac{p_\infty}{2}\left(2-\dfrac{a^2}{r^2}\right)-\rho gz, &\quad(r>a),\\
\end{cases}</math>
と表される。

水面の形は、上式で <math>p = p_\infty</math> となる高さ <math>z</math> であるから、
:<math>z|_{p=p_\infty}(r)=\begin{cases}
-\dfrac{p_\infty}{\rho g}\left(1-\dfrac{r^2}{2a^2}\right), &\quad(r<a),\\
-\dfrac{p_\infty}{\rho g}\dfrac{a^2}{2r^2}, &\quad(r>a)
\end{cases}</math>
と得られる。したがって水面は、渦の中では回転[[放物面]]の形を持ち、渦の外では <math>r^2</math> に反比例するようなくぼみとなる。くぼみの最深点は
:<math>z|_{p=p_\infty, r=0}=-\frac{p_\infty}{\rho g}=-\frac{\omega^2 a^2}{4g}</math>
で与えられ、渦度 <math>\omega</math> と渦の半径 <math>a</math> の積（＝渦の周辺での流速）の2乗に比例する。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[バーガース渦]]

{{DEFAULTSORT:らんきんうす}}
[[Category:うず]]
[[Category:流体力学の方程式]]