ランダムウォークのソースを表示

{{Otheruses||[[吉住渉]]の漫画|ランダム・ウォーク (漫画)}}
{{出典の明記|date=2011年5月}}
[[File:random_walk_in2D.png|thumb|right|150px|2次元ランダムウォークの軌跡。]]
'''ランダムウォーク'''（{{lang-en-short|random walk}}）は、次に現れる位置が[[確率]]的に無作為（[[ランダム]]）に決定される運動である。日本語の別名は'''酔歩'''（すいほ）、'''乱歩'''（らんぽ）である。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。

[[ブラウン運動]]と共に、[[統計力学]]、[[量子力学]]、[[数理ファイナンス]]<ref>[http://www.findai.com/yogo/0026.htm ウィーナー過程]フィナンシャル・アーティスト・アカデミー株式会社</ref><ref>[http://www.ntrand.com/log-normal-distribution/ Log normal distribution]ニューメリカルテクノロジーズ株式会社</ref>等の具体的モデル化に盛んに応用される。

== 数学的定義 ==
<math>X_n</math> (<math>n = 1, 2, \dots</math>) を[[独立同分布|独立かつ同分布]]な <math>\mathbf{R}^d</math> 値[[確率変数]]族とする。この時、
: <math>S_n = X_1 + \cdots + X_n</math>
を（<math>d</math> 次元）ランダムウォーク {{lang|en|(''d'' dimensional random walk, RW)}} という。

特に、<math>X_n</math> が <math>\mathbf{Z}^d</math> 値であり、かつ、
: <math>P( X_n = \mathbf{e}_j ) = P( X_n = -\mathbf{e}_j ) =\frac{1}{2d} </math>
（<math>\mathbf{e}_j</math> は、第 <math>j</math> 成分が 1 の[[単位ベクトル]]）である時、''S''<sub>''n''</sub> を（<math>d</math> 次元）単純ランダムウォーク {{lang|en|(''d'' dimensional simple random walk)}} という。

直接的一般化として、結晶格子（結晶構造の抽象化）上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と[[砂田利一|砂田]]により証明されている<ref>{{cite journal |author= M. Kotani, T. Sunada |year= 2003 |title= Spectral geometry of crystal lattices |journal= Contemporary. Math.|volume= 338 |pages= 271–305 |doi=10.1090/conm/338/06077}}</ref><ref>{{cite journal |author= M. Kotani, T. Sunada |year= 2006 |title= Large deviation and the tangent cone at infinity of a crystal lattice |journal= Math. Z. |volume= 254 |pages= 837–870 |doi=10.1007/s00209-006-0951-9}}</ref>。

== 例 ==
[[File:Arcsin density.svg|thumb|300px|[[確率密度関数]] <math> f(x) = \tfrac{1}{\pi\sqrt{x(1-x)}} </math> のグラフ]]

[[コイントス]]において、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

[[数直線]]上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は[[正規分布]]で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合<math>x</math>の分布は、<math>\tfrac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)} }</math>の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は<math>1-x</math>）。これは<math>x=0</math>および<math>x=1</math>で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる<ref>[http://www.nara-wu.ac.jp/initiative-MPI/images/Kosugi/Kosugi-12.4file.pdf ランダムウォークに関する話題から ―逆正弦法則について―]小杉のぶ子（東京海洋大学 海洋工学部）</ref><ref>[http://elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~nagahata/20070816/arcsin.pdf “つき”の数理-逆正弦法則について]{{リンク切れ|date=2017年5月}}大阪大学基礎工学研究科会田研究室</ref>。

== 基本的性質 ==
# 再帰性
#: 1または2次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3次元以上のランダムウォークは非再帰的である。<ref>[http://user.numazu-ct.ac.jp/~hmatsu/resume14.pdf ランダムウォーク]{{リンク切れ|date=2017年5月}}</ref><ref>[http://www7b.biglobe.ne.jp/~fukagawa/documents/randomwalk.pdf 電気回路とランダム・ウォーク]2002年3月17日 確率統計委員会・深川久（豊中高校）</ref>
# Donsker の定理の系
#: ''X''<sub>''n''</sub> (''n'' = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、
#:: <math>S_t = S_n \quad \mbox{ if } t = n , \quad \mbox{ linear } \mbox{ if } n < t < n + 1 </math>
#: で定義すると、各 ''t'' ≧ 0 に対して次が成立する。
#:: <math>P \left( \left| \frac{S_{nt}}{\sqrt{n}} - B_t \right| < \varepsilon \right) \rightarrow 0 \quad \mbox{ for all } \varepsilon > 0 </math>

== 応用 ==
; レビのダスト
: 宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が[[冪級数]]で与えられるようなランダムウォーク。
; {{仮リンク|自己回避ランダムウォーク|en|Self-avoiding walk}}<ref>{{Cite web|和書|url=https://hdl.handle.net/2115/372|title=確率モデルを用いたフラクタル図形の作成に関する実験手引書|accessdate=2020-05-18|year=2004|author=井上純一|publisher=[[北海道大学]]|format=pdf|page=12}}
</ref>
: 軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。[[高分子]]の幾何学的構造<ref>[http://www.ice.gunma-ct.ac.jp/~tsurumi/courses/Sim/RandomWalk.pdf ランダムウォークと統計力学]岡部豊{{リンク切れ|date=2020年5月}}</ref>、海岸線などのモデル（[[自己相似]]）として利用されている。

== 脚注 ==
<references/>

== 関連項目 ==
* [[カオス理論]]
* [[ランダム・ウォーク理論]]
* [[確率過程]]
* [[マルコフ過程]]
* [[マルコフ連鎖]]
* [[マルコフ連鎖モンテカルロ法]]
* [[ブラウン運動]]
* [[量子ウォーク]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:らんたむうおおく}}
[[Category:確率論]]
[[Category:確率過程]]
[[Category:数学に関する記事]]