ランダムウォーク

ランダムウォーク（テンプレート:Lang-en-short）は、次に現れる位置が確率的に無作為（ランダム）に決定される運動である。日本語の別名は酔歩（すいほ）、乱歩（らんぽ）である。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。

ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス^[1]^[2]等の具体的モデル化に盛んに応用される。

数学的定義

$X_{n}$ ( $n = 1, 2, \dots$ ) を独立かつ同分布な $𝐑^{d}$ 値確率変数族とする。この時、

S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}

を（ $d$ 次元）ランダムウォークテンプレート:Lang という。

特に、 $X_{n}$ が $𝐙^{d}$ 値であり、かつ、

P (X_{n} = 𝐞_{j}) = P (X_{n} = - 𝐞_{j}) = \frac{1}{2 d}

（ $𝐞_{j}$ は、第 $j$ 成分が 1 の単位ベクトル）である時、S_n を（ $d$ 次元）単純ランダムウォークテンプレート:Lang という。

直接的一般化として、結晶格子（結晶構造の抽象化）上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と砂田により証明されている^[3]^[4]。

コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合 $x$ の分布は、 $\frac{1}{π \sqrt{x (1 - x)}}$ の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は $1 - x$ ）。これは $x = 0$ および $x = 1$ で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる^[5]^[6]。

レビのダスト: 宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。
テンプレート:仮リンク^[9]: 軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造^[10]、海岸線などのモデル（自己相似）として利用されている。