ランプ関数のソースを表示

[[Image:Ramp_function.svg|ランプ関数の[[グラフ (関数)|グラフ]]|thumb|260px|right]]

'''ランプ関数'''（{{lang-en-short|ramp function}}）とは、一変数の[[実関数]]であり、[[独立変数]]とその絶対値の平均として容易に求められる。[[区分線形関数]]。

この関数は工学において（[[デジタル信号処理|DSP]]の理論など）応用を持つ。"ramp function"の名は、グラフの形状が[[斜路|傾斜路]]（{{lang-en-short|ramp}}）に似ていることに由来する。

== 定義 ==
ランプ関数 {{math|{{mvar|R}}({{mvar|x}}) : '''R''' → '''R'''}} には幾つかの同値な定義が存在する。

* 場合分け
*: <math>R(x) := \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ 0, & x<0 \end{cases}</math>
* 指数 1 の[[切断冪関数]]
*: <math>R(x) := x_{+}</math>
* 最大値関数
*: <math>R(x) := \max(x,0)</math>
* 傾きが1の直線とその絶対値との平均<ref>
これは {{math|max({{mvar|a}},{{mvar|b}})}} が次のように定義できることによる。
: <math>\max(a,b) = \frac{a+b+|a-b|}{2}</math>
これを最大値関数による定義 {{math|{{mvar|R}}({{mvar|x}}) :{{=}} max({{mvar|x}},0)}} に代入すればよい。
</ref>
*: <math>R(x) := \frac{x+|x|}{2}</math>
* 傾きが1の直線と[[ヘビサイド関数]]との積
*: <math>R\left( x \right) := xH\left( x \right)</math>
* ヘビサイド関数とそれ自身の[[畳み込み]]
*: <math>R\left( x \right) := H\left( x \right) * H\left( x \right)</math>
* ヘビサイド関数の[[積分]]
*: <math>R(x) := \int_{-\infty}^{x} H(\xi)\mathrm{d}\xi</math>
* [[マコーレーの括弧]]
*: <math>R(x) := \langle x\rangle</math>

== 解析的性質 ==
=== 非負性 ===
ランプ関数は定義域全体で非負となる。

: <math>\forall x \in \mathbf{R} : R(x) \geq 0</math>

そのため、関数の値はその絶対値に等しい。

: <math>|R(x)| = R(x)</math>

=== 導関数 ===
ランプ関数の導関数は[[ヘビサイド関数]]に等しい。

: <math>R'(x) = H(x)\ \mathrm{if}\ x \ne 0</math>

=== 二階導関数 ===
ランプ関数は次の微分方程式を満たす。但し {{math|{{mvar|δ}}({{mvar|x}})}} は[[ディラックのデルタ関数]]である。

: <math> \frac{\operatorname{d}^2}{\operatorname{d} x^2} R(x - x_0) = \delta(x - x_0)</math>

これは、{{math|{{mvar|R}}({{mvar|x}})}} が二階微分作用素の[[グリーン関数]]であることを意味する。これにより、可積分な二階導関数 {{math|{{mvar|f}}&prime;&prime;({{mvar|x}})}} を持つ任意の関数 {{math|{{mvar|f}}({{mvar|x}})}} は、{{math|{{mvar|a}} &lt; {{mvar|x}} &lt; {{mvar|b}}}} のとき次の方程式を満たす。

: <math> f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \int_{a}^b R(x - s) f''(s) \operatorname{d} s</math>

=== フーリエ変換 ===    
ランプ関数の[[フーリエ変換]]は次の通りとなる。

: <math> \mathcal{F}\left\{ R(x) \right\}(f) </math> <math> = </math> <math> \int_{-\infty}^{\infty}R(x) e^{-2\pi ifx}dx </math> <math> = </math> <math> \frac{i\delta '(f)}{4\pi}-\frac{1}{4\pi^{2}f^{2}} </math>

ここで {{math|{{mvar|δ}}({{mvar|x}})}} は [[ディラックのデルタ関数]]（式中では[[導関数]]が使用されていることに注意）。

=== ラプラス変換 ===
ランプ関数の片側[[ラプラス変換]]は次の通りとなる。

: <math> \mathcal{L}\left\{ R\left( x \right)\right\} (s) = \int_{0}^{\infty} e^{-sx}R(x)dx = \frac{1}{s^2}. </math>

== 代数的性質 ==
=== 冪等性 ===
ランプ関数の任意の[[反復合成]]はランプ関数に等しい。<ref>
次の証明には[[#非負性|非負性]]が用いられている。
: <math>R(R(x)) := \frac{R(x) + |R(x)|}{2} = \frac{R(x)+ R(x)}{2} = R(x)</math>
</ref>

: <math>R(R(x)) = R(x)</math>

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
{{MathWorld
| title   = Ramp Function
| urlname = RampFunction
}}


{{DEFAULTSORT:らんふかんすう}}
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[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]