ランプ関数

ランプ関数のグラフ

ランプ関数（テンプレート:Lang-en-short）とは、一変数の実関数であり、独立変数とその絶対値の平均として容易に求められる。区分線形関数。

この関数は工学において（DSPの理論など）応用を持つ。"ramp function"の名は、グラフの形状が傾斜路（テンプレート:Lang-en-short）に似ていることに由来する。

定義

ランプ関数 テンプレート:Math には幾つかの同値な定義が存在する。

• 場合分け

  $R(x):=\{\begin{array}{cc}x,& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$

• 指数 1 の切断冪関数

  $R(x):=x_{+}$

• 最大値関数

  $R(x):=\max (x,0)$

• 傾きが1の直線とその絶対値との平均

  $R(x):=\frac{x+|x|}{2}$

• 傾きが1の直線とヘビサイド関数との積

  $R\left(x\right):=xH\left(x\right)$

• ヘビサイド関数とそれ自身の畳み込み

  $R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)$

• ヘビサイド関数の積分

  $R(x):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}H(\xi )\mathrm{d}\xi$

• マコーレーの括弧

  $R(x):=⟨x⟩$

解析的性質

非負性

ランプ関数は定義域全体で非負となる。

$\mathrm{\forall }x\in 𝐑:R(x)\ge 0$

そのため、関数の値はその絶対値に等しい。

$|R(x)|=R(x)$

導関数

ランプ関数の導関数はヘビサイド関数に等しい。

$R^{\prime }(x)=H(x)\mathrm{i}\mathrm{f}x\ne 0$

二階導関数

ランプ関数は次の微分方程式を満たす。但し テンプレート:Math はディラックのデルタ関数である。

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}R(x-x_0)=\delta (x-x_0)$

これは、テンプレート:Math が二階微分作用素のグリーン関数であることを意味する。これにより、可積分な二階導関数 テンプレート:Math を持つ任意の関数 テンプレート:Math は、テンプレート:Math のとき次の方程式を満たす。

$f(x)=f(a)+(x-a)f^{\prime }(a)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}R(x-s)f^{″}(s)\mathrm{d}s$

フーリエ変換

ランプ関数のフーリエ変換は次の通りとなる。

$ℱ\{R(x)\}(f)$ $=$ $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}R(x)e^{-2\pi ifx}dx$ $=$ $\frac{i{\delta }^{\prime }(f)}{4\pi }-\frac{1}{4{\pi }^2{f}^2}$

ここで テンプレート:Math は ディラックのデルタ関数（式中では導関数が使用されていることに注意）。

ラプラス変換

ランプ関数の片側ラプラス変換は次の通りとなる。

$ℒ\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sx}R(x)dx=\frac{1}{s^2}.$

代数的性質

冪等性

ランプ関数の任意の反復合成はランプ関数に等しい。

$R(R(x))=R(x)$