ラヴィ変換のソースを表示

[[数学]]における'''ラヴィ変換'''（ラヴィへんかん、ラビへんかん、{{Lang-en-short|Ravi transformation, Ravi substitution}}）は、[[国際数学オリンピック]]などの問題を解く際に使われる[[変数 (数学)|変数]]の[[変換 (数学)|変換]]方法の一つである<ref>{{Cite book|和書 |title=Inequalities A Mathematical Olympiad Approach |publisher=Birkhäuser Verlag AG |url=https://artofmaths.wordpress.com/wp-content/uploads/2014/06/inequalities-a-mathematical-olympiad-approach.pdf |isbn=978-3-0346-0049-1 |author=Radmila Bulajich Manfrino |author3=Rogelio Valdez Delgado |author2=José Antonio Gómez Ortega}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://igor-kortchemski.perso.math.cnrs.fr/olympiades/Cours/Inegalites/tin2006.pdf |title=Topics in Inequalities- Theorems and Techniques |access-date=2024-11-29 |author=Hojoo Lee}}</ref>。

3つの[[実数]]変数{{Mvar|a, b, c}}を次のように、[[全単射的]]に変数{{Mvar|x, y, z}}に変換することをラヴィ変換という<ref name=":0">{{Cite book |first=Mohammed |last=Aassila |title=1000 challenges mathématiques, Analyse |edition=Ellipses |year=2016 |page=319-320, 491-495}}.</ref>。

: <math>\begin{cases} a=y+z \\ b=z+x \\ c=x+y, \end{cases}</math>

{{Mvar|x, y, z}}は{{Mvar|a, b, c}}を用いて次の式で表される。

: <math>\begin{cases}x=\frac{b+c-a}2=p-a\\ y=\frac{c+a-b}2=p-b\\ x=\frac{a+b-c}2=p-c,\end{cases}</math>

ただし、 <math>p=\frac{a+b+c}2</math>。

名称は{{仮リンク|ラヴィ・ヴァキル|en|Ravi Vakil}}に因むが、1971年には既にMurray S. Klamkin{{Enlink|Murray S. Klamkin}}が『dualité dans les inégalités du triangle』において研究していた<ref>{{Cite journal|author=Shay Gueron|date=1999|title=The Non-Ravi Substitution|url=https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/CRUXv28n2.pdf|journal=[[Crux Mathematicorum]]|issue=220|page=88-90|language=en}}.</ref><ref>{{Cite journal|author=M.S. Klamkin|date=août 1971|title=Duality in triangle inequalities|url=https://www.ams.org/journals/notices/197108/197108FullIssue.pdf?cat=fullissue&trk=fullissue197108|journal=[[Notices of the American Mathematical Society]]|volume=18|issue=5|page=782|language=en}}.</ref>。

== 幾何学的な解釈 ==
[[ファイル:Cercle_inscrit_triangle.gif|サムネイル|300x300ピクセル]]
<math>\begin{cases} a<b+c \\ b<c+a \\ c<a+b\end{cases}</math>、つまり{{Mvar|x, y, z}}がすべて[[正の数と負の数|正]]ならば、3辺の長さを{{Mvar|a, b, c}}とする退化していない[[三角形]]が存在する。

さらに{{Mvar|x, y, z}}は、その[[三角形]]の頂点の[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]における[[接線]]長に対応する。

== ラヴィ変換により導かれる関係式の例 ==

* [[ヘロンの公式]]。 <math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{xyz(x+y+z)}</math>.

* [[三角形の内接円と傍接円|内接円]]の半径の公式。  <math>r=\frac Sp=\sqrt\frac{xyz}{x+y+z}</math>.
* {{Mvar|A}}[[三角形の内接円と傍接円|傍接円]]の半径の公式。 <math>r_A=\frac S{p-a}=\sqrt{\frac{yz}x(x+y+z)}</math>.

* [[外接円]]の半径の公式<ref name=":0" />。<math>R=\frac{abc}{4S}=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{4\sqrt{xyz(x+y+z)}}</math>.

== 応用例 ==

* 三角形の3辺の長さとなるような、変数{{Mvar|a, b, c}}において、

:: <math>\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c} \geqslant 3</math>,
: が成り立つことを示す。

: ラヴィ変換によって、不等式は次のように変形できる。
:: <math>\frac{y+z}x+\frac{z+x}y+\frac{x+y}z =\frac xy+\frac yx+\frac yz+\frac zx+\frac zx+\frac xz\geqslant 6</math>,
: [[相加相乗平均の関係式]]<math>X+\frac1X\geqslant2</math> を用いることにより、不等式が成立することが分かる<ref name=":0" />。

* ラヴィ変換を逆に用いる、つまり正の数{{Mvar|x, y, z}}を{{Mvar|a, b, c}}に変換する方法も効果的である。例えば、[[ネスビットの不等式]]は次のように証明できる。

:: <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \geqslant \frac{3}{2}</math>.
: ラヴィ変換と逆の変換をして、
:: <math>\frac{b+c}a+\frac{c+a}b+\frac{a+b}c =\frac ba+\frac ab+\frac cb+\frac bc+\frac ac+\frac ca\geqslant 6</math>。
: この式は、相加相乗平均の不等式から成立が確認できる<ref name=":0" />。

* [[オイラーの定理 (平面幾何学)|オイラーの不等式]]をラヴィ変換で証明する。

:: <math>\begin{align} R\geqslant2r& \iff\frac{abc}{4S}\geqslant\frac{2S}p \\ &\iff pabc\geqslant8S^2
\\ &\iff (x+y)(y+z)(z+x)\geqslant 8xyz \\
&\iff \frac{y+z}x+\frac{z+x}y+\frac{x+y}z \geqslant 6\end{align}</math>
:

== 変数が4つある場合 ==
[[ファイル:Quadrilatere_circonscriptible_2.gif|サムネイル|300x300ピクセル|円に外接する四角形。<math>a+c=b+d</math>を満たす。]]

* 4つのパラメータ{{Mvar|a, b, c, d}}がある場合は、ラヴィ変換と同様に、次のような変換を施すことも有用である{{要出典|date=2024年11月}}。

:: <math>\begin{cases} a=x+y \\ b=y+z \\ c=z+t\\d=t+x \end{cases}</math>
: ただし、この変換は<math>a+c=b+d=x+y+z+t</math>が成立する場合に全単射になる。これは、[[円に外接する四角形]]と[[ピトーの定理]]から説明できる。

:

* 全単射になるように変換したい場合、次のようにすることもある。

:: <math>\begin{cases} a=\hphantom{x+}\; y+z+t \\ b=x\hphantom{+y}\;+z+t \\ c=x+y\hphantom{+z}\;+t\\d=x+y+z \end{cases}</math>
: から、
:: <math>\begin{cases} x=p-a \\ y=p-b \\ z=p-c\\t=p-d \end{cases}</math> 
:: ただし、 <math>p=\frac{a+b+c+d}3</math>。

== 出典 ==
{{Reflist}}
== 外部リンク ==

* {{YouTube|id=QerYU9ADzgg&ab_channel=Pi-StarMathsHD|title=Transformation de Ravi et Olympiades de Mathématiques}}
* {{高校数学の美しい物語|601|不等式証明のコツ３：Ravi変換}}

{{デフォルトソート:らういへんかん}}
[[Category:不等式]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:変換 (数学)]]