ラヴィ変換

数学におけるラヴィ変換（ラヴィへんかん、ラビへんかん、テンプレート:Lang-en-short）は、国際数学オリンピックなどの問題を解く際に使われる変数の変換方法の一つである。

3つの実数変数テンプレート:Mvarを次のように、全単射的に変数テンプレート:Mvarに変換することをラヴィ変換という。

$\{\begin{array}{c}a=y+z\\ b=z+x\\ c=x+y,\end{array}$

テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarを用いて次の式で表される。

$\{\begin{array}{c}x=\frac{b+c-a}{2}=p-a\\ y=\frac{c+a-b}{2}=p-b\\ x=\frac{a+b-c}{2}=p-c,\end{array}$

ただし、 $p=\frac{a+b+c}{2}$。

名称はテンプレート:仮リンクに因むが、1971年には既にMurray S. Klamkinテンプレート:Enlinkが『dualité dans les inégalités du triangle』において研究していた。

幾何学的な解釈

$\{\begin{array}{c}a<b+c\\ b<c+a\\ c<a+b\end{array}$、つまりテンプレート:Mvarがすべて正ならば、3辺の長さをテンプレート:Mvarとする退化していない三角形が存在する。

さらにテンプレート:Mvarは、その三角形の頂点の内接円における接線長に対応する。

ラヴィ変換により導かれる関係式の例

• ヘロンの公式。 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{xyz(x+y+z)}$.

• 内接円の半径の公式。 $r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}}$.
• テンプレート:Mvar傍接円の半径の公式。 $r_A=\frac{S}{p-a}=\sqrt{\frac{yz}{x}(x+y+z)}$.

• 外接円の半径の公式。$R=\frac{abc}{4S}=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{4\sqrt{xyz(x+y+z)}}$.

応用例

• 三角形の3辺の長さとなるような、変数テンプレート:Mvarにおいて、

$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}⩾3$,

が成り立つことを示す。

ラヴィ変換によって、不等式は次のように変形できる。

$\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}⩾6$,

相加相乗平均の関係式$X+\frac{1}{X}⩾2$ を用いることにより、不等式が成立することが分かる。

• ラヴィ変換を逆に用いる、つまり正の数テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarに変換する方法も効果的である。例えば、ネスビットの不等式は次のように証明できる。

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}⩾\frac{3}{2}$.

ラヴィ変換と逆の変換をして、

$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}⩾6$。

この式は、相加相乗平均の不等式から成立が確認できる。

• オイラーの不等式をラヴィ変換で証明する。

$\begin{array}{cc}R⩾2r& ⟺\frac{abc}{4S}⩾\frac{2S}{p}\\ & ⟺pabc⩾8S^2\\ & ⟺(x+y)(y+z)(z+x)⩾8xyz\\ & ⟺\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}⩾6\end{array}$

変数が4つある場合

円に外接する四角形。$a+c=b+d$を満たす。

• 4つのパラメータテンプレート:Mvarがある場合は、ラヴィ変換と同様に、次のような変換を施すことも有用であるテンプレート:要出典。

$\{\begin{array}{c}a=x+y\\ b=y+z\\ c=z+t\\ d=t+x\end{array}$

ただし、この変換は$a+c=b+d=x+y+z+t$が成立する場合に全単射になる。これは、円に外接する四角形とピトーの定理から説明できる。

• 全単射になるように変換したい場合、次のようにすることもある。

$\{\begin{array}{c}a=\phantom{x+}y+z+t\\ b=x\phantom{+y}+z+t\\ c=x+y\phantom{+z}+t\\ d=x+y+z\end{array}$

から、

$\{\begin{array}{c}x=p-a\\ y=p-b\\ z=p-c\\ t=p-d\end{array}$

ただし、 $p=\frac{a+b+c+d}{3}$。

外部リンク

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