円に外接する四角形

平面幾何学において、円に外接する四角形^[1]（えんにがいせつするしかくけい、テンプレート:Lang-en-short^[2]）または円外接四辺形^[3]^[4]、接線四辺形（テンプレート:Lang-en-short）はすべての辺がある円に接する凸四角形である。特にこの円とその中心、半径をそれぞれ内接円、内心、内半径という。円に外接する四角形は円外接多角形の一つである。

英語では inscriptable quadrilateral, inscriptible quadrilateral, inscribable quadrilateral, circumcyclic quadrilateral,co-cyclic quadrilateralなどと言われる場合もある^[2]^[5]。しかしこの語は円に内接する四角形を指す場合が多く混同を避けるため、あまり使われない^[2]。

任意の三角形は内接円を持つが四角形ではそうとは限らない。例えば、正方形でない長方形は内接円を持たない。四角形が円に外接する必要十分条件は後述のピトーの定理などがある。

特別な場合

円に外接する四角形の例にひし形、正方形を含む凧形がある。凧形は円に外接する四角形であり、直交対角線四角形でもある^[6]。また、直角凧形は外接円を持つ。内接円と外接円を持つ四角形は双心四角形と呼ばれ、直角凧形はその一つである。

円に外接する台形は円に外接する台形と呼ばれる。

特徴づけ

円に外接する四角形の4つの角の二等分線はその内心で交わる。逆に四角形の4つの角の二等分線が共点ならばその四角形は円に外接する四角形である^[7]。

ピトーの定理によれば、円に外接する四角形の2組の対辺の長さの和は等しい。またその長さは四角形の半周長である。

a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s .

逆に a + c = b + d ならばその四角形は円に外接する^[2]テンプレート:Rp^[7]。

図のように台形でない凸四角形テンプレート:Mvarのそれぞれの対辺の交点をテンプレート:Mvarとする。四角形テンプレート:Mvarが円に外接することと、以下の式が成り立つことは同値である^[7]。

B E + B F = D E + D F o r A E - E C = A F - F C

他の、四角形が円に内接する必要十分条件は、テンプレート:Mathの内接円が接することである^[2]テンプレート:Rp。

1954年、Iosifescuは凸四角形が円に外接する必要十分条件を、以下の様な、対角線と辺の成す角による表現でまとめた^[8]。

\tan \frac{∠ A B D}{2} \cdot \tan \frac{∠ B D C}{2} = \tan \frac{∠ A D B}{2} \cdot \tan \frac{∠ D B C}{2} .

円に外接する四角形（青）とその内接円（破線）と4つの外部で接する円（赤）。赤い円はある2つの辺の延長で接している。

更に、辺長がテンプレート:Mvarである凸四角形が円に外接することは

R_{a} R_{c} = R_{b} R_{d}

と同値である。ここでテンプレート:Mvarはそれぞれ辺テンプレート:Mvarとその隣接する辺の延長に接する円の半径である^[9]テンプレート:Rp。

さらなる特徴づけには四角形の辺と対角線が成す4つの三角形を用いるものがある。

接点と接線の長さ

円に外接する四角形とその内接円は4点で接する。この4点から成る四角形は接触四角形（contact quadrilateral）とよばれ円に内接する四角形となる。

図の様に、4つの接点と対応する各頂点の距離、接線長^[10]（tangent lengths）をテンプレート:Mvarとする。内接円と隣り合う2辺の接点と、その間の頂点の距離は等しい。

それぞれ対辺の対辺を結ぶ線分（図ではテンプレート:Mvar）はtangency chordsと呼ばれる。これは接触四角形の対角線である。

面積

三角法を用いない公式

円に外接する四角形の面積テンプレート:Mvarは内半径と半周長を用いて以下の様に表される。

K = r \cdot s,

または、

K = \frac{1}{2} \sqrt{p^{2} q^{2} - (a c - b d)^{2}}

ただしテンプレート:Mvarは二つの対角線の長さとする^[11]。

テンプレート:Mvarを用いれば以下のようになる^[6]。

K = \sqrt{(e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f)} .

テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarを両方用いれば、

K = \sqrt{a b c d - (e g - f h)^{2}} .

となる^[6]テンプレート:Rp。もしこの四角形が円に内接するならばテンプレート:Mathが従い、双心四角形の面積公式 $\sqrt{a b c d}$ となる^[12]。

三角法による公式

辺の長さと、三角法を使う公式には以下の様なものがある^[13]^[14]^[15]^[16]。

K = \sqrt{a b c d} \sin \frac{A + C}{2} = \sqrt{a b c d} \sin \frac{B + D}{2} .

円に外接する四角形の辺長が与えられたとき、その面積が最大となるのは、外接円をもつ、つまり双心四角形となるときである。四角形が外接円をもつとき、それぞれの対角の和が180°となるためである。また微分幾何学を用いることによっても証明できる^[17]。

四角形の頂点と内心テンプレート:Mvarの距離を用いたものもあるテンプレート:Rp。

K = (I A \cdot I C + I B \cdot I D) \sin \frac{A + C}{2}

2つの対辺と角によってあらわすこともできる^[11]。

K = a b \sin \frac{B}{2} \csc \frac{D}{2} \sin \frac{B + D}{2} .

さらに外積を用いた面積公式ような形の公式もある^[11]。

K = \frac{1}{2} | (a c - b d) \tan θ |,

ここでテンプレート:Mvarは対角線の成す角である。ただし凧形ではテンプレート:Mvarは90°であるから上の式を使うことはできない。

不等式

上記の公式から円に外接する四角形の面積テンプレート:Mvarと辺長テンプレート:Mvarについて

K \leq \sqrt{a b c d}

が成り立つ。等号成立条件は四角形が双心四角形である場合。

T. A. Ivanova (1976)によれば、内半径と半周長について

s \geq 4 r

が成り立つ。等号成立条件は四角形が正方形である場合^[18]。この式とテンプレート:Mathから

K \geq 4 r^{2}

が導かれる。

分割

円に外接する四角形の内接円と各辺の接点と内心を結ぶ線分は四角形を4つの直角凧形に分割する。

円に外接する四角形を、面積と周長の等しい2つの多角形に分ける直線は内心を通る。

内半径

円に外接する四角形テンプレート:Mvarの内半径は面積テンプレート:Mvarと辺長テンプレート:Mvar、半周長テンプレート:Mvarを用いて以下のように書ける^[11]。

r = \frac{K}{s} = \frac{K}{a + c} = \frac{K}{b + d}

円に外接する四角形の辺長が与えられたとき、その内半径が最大値をとるような四角形は双心四角形である。

接線長テンプレート:Mvarを用いれば以下の様にも書ける^[12]テンプレート:Rp^[19]。

r = \sqrt{\frac{e f g + f g h + g h e + h e f}{e + f + g + h}} .

各頂点と内心テンプレート:Mvarの距離をテンプレート:Mathと書けば

r = 2 \sqrt{\frac{(σ - u v x) (σ - v x y) (σ - x y u) (σ - y u v)}{u v x y (u v + x y) (u x + v y) (u y + v x)}}

となる^[20]。ただし $σ = \frac{1}{2} (u v x + v x y + x y u + y u v)$

テンプレート:Mathの内半径をそれぞれ $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$ とすればさらに

r = \frac{G + \sqrt{G^{2} - 4 r_{1} r_{2} r_{3} r_{4} (r_{1} r_{3} + r_{2} r_{4})}}{2 (r_{1} r_{3} + r_{2} r_{4})}

と変形できる^[21]。ただし $G = r_{1} r_{2} r_{3} + r_{2} r_{3} r_{4} + r_{3} r_{4} r_{1} + r_{4} r_{1} r_{2}$ .

角の公式

円に外接する四角形テンプレート:Mvarについて、それぞれの頂点の接線長をテンプレート:Mvarとする。四角形の角に対する正弦は次のように計算できる^[6]。

\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{e f g + f g h + g h e + h e f}{(e + f) (e + g) (e + h)}},

\sin \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{e f g + f g h + g h e + h e f}{(f + e) (f + g) (f + h)}},

\sin \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{e f g + f g h + g h e + h e f}{(g + e) (g + f) (g + h)}},

\sin \frac{D}{2} = \sqrt{\frac{e f g + f g h + g h e + h e f}{(h + e) (h + f) (h + g)}} .

対辺上の接点を結ぶ直線テンプレート:Mvarの成す角の正弦は次のように計算できる^[6]。

\sin φ = \sqrt{\frac{(e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f)}{(e + f) (f + g) (g + h) (h + e)}} .

対角線

接線長テンプレート:Mvarを用いて、対角線の長さテンプレート:Mathは以下の様に計算できる^[12]テンプレート:Rp。

p = \sqrt{\frac{e + g}{f + h} ((e + g) (f + h) + 4 f h)},

q = \sqrt{\frac{f + h}{e + g} ((e + g) (f + h) + 4 e g)} .

接点を結ぶ直線

接線長テンプレート:Mvarを用いて、接触四角形の対角線（Tangency chords）の長さテンプレート:Mvarは以下の様に計算できる^[6]。

k = \frac{2 (e f g + f g h + g h e + h e f)}{\sqrt{(e + f) (g + h) (e + g) (f + h)}},

l = \frac{2 (e f g + f g h + g h e + h e f)}{\sqrt{(e + h) (f + g) (e + g) (f + h)}}

ここで四角形の辺の長さテンプレート:Mvarについてテンプレート:Mathが成り立つから

\frac{k^{2}}{l^{2}} = \frac{b d}{a c} .

である^[6]。2つのTangency chordsには以下の様な性質がある。

双心四角形ならば直交する^[6]テンプレート:Rp。
凧形ならば長さが等しい^[22]テンプレート:Rp。

円に外接する四角形テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarがテンプレート:Mvarよりも短ければ、テンプレート:Mvar間のtangency chordはテンプレート:Mvar間のtangency chordより長い^[23]テンプレート:Rp。

テンプレート:Mvarと内接円の接点をそれぞれテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvarとする。 $\frac{B W}{D Y}$ と $\frac{B M}{D M}$ は等しい^[24]。

共線点

円に外接する四角形テンプレート:Mvarの対角線テンプレート:Mvarの中点をそれぞれテンプレート:Math、内心をテンプレート:Mvar、対辺テンプレート:Mvarの交点テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点テンプレート:Mvarを通る線分テンプレート:Mvarの中点をテンプレート:Mathとする。この4点テンプレート:Mathは共線である^[25]^[7]テンプレート:Rp。この線をニュートン線という。

一般に四角形のすべての辺に接する楕円（テンプレート:仮リンク）の中心は、そのニュートン線上にある^[26]。

また接触四角形のそれぞれの対辺の交点をテンプレート:Mvarとすると、テンプレート:Mvarは共線である^[27]テンプレート:Rp。

円に外接する四角形テンプレート:Mvarの内心をテンプレート:Mvar、対角線の交点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mathの垂心をそれぞれテンプレート:Mvarとするとテンプレート:Mvarは共線である^[15]テンプレート:Rp。

共点と垂線

2つの対角線と2つのtangency chordsは共点である^[16]^[15]テンプレート:Rp。これは、ブリアンションの定理で2つの点を極限まで近づけた場合を用いて証明できる。円に外接する六角形の頂点2つを別の頂点に極限まで近づけると、近づかれた2点と、他の2点の接線が円に外接する四角形を成し、近づいた点と近づかれた点の接線の交点はその2点と一致してtangency chordsとなる。同様の操作をすることで、もう一方のtangency chordsの共点も証明できる。

対辺テンプレート:Mvarの交点テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点テンプレート:Mvarを結ぶ直線テンプレート:Mvarと、対角線の交点テンプレート:Mvarと内心テンプレート:Mvarを結ぶ直線テンプレート:Mvarは直交する^[27]テンプレート:Rp。

内心

円に外接する四角形の内心はニュートン線上にある^[29]。

内心テンプレート:Mvarと円に外接する四角形テンプレート:Mvarの頂点の距離の比について次の式が成り立つ^[15]テンプレート:Rp。

\frac{A B}{C D} = \frac{I A \cdot I B}{I C \cdot I D}, \frac{B C}{D A} = \frac{I B \cdot I C}{I D \cdot I A} .

この式から、以下の式が満足する^[30]。

A B \cdot B C = I B^{2} + \frac{I A \cdot I B \cdot I C}{I D} .

また

I A \cdot I C + I B \cdot I D = \sqrt{A B \cdot B C \cdot C D \cdot D A} .

が成り立つ^[15]テンプレート:Rp。内心が頂点の重心（幾何中心）となるのは、

I A \cdot I C = I B \cdot I D .

が成立することと同値である^[15]テンプレート:Rp。テンプレート:Mvarの中点をそれぞれテンプレート:Mvarとすると、以下の式が成り立つ^[15]テンプレート:Rp^[31]。

\frac{I M_{p}}{I M_{q}} = \frac{I A \cdot I C}{I B \cdot I D} = \frac{e + g}{f + h}

ただしテンプレート:Mvarはそれぞれテンプレート:Mvarの接線長である。このことから内心が幾何中心と一致するのは、内心が対角線の中点を繋げた線分の中点であるときである。

円に外接する四角形がテンプレート:仮リンクとみなすとき、四角形が凸であれば、どのように機構を動かしても、円に外接する状態は変わらない^[32]^[33]。例えば正方形をひし形に変形しても円に外接したままである。ある辺が固定されて四角形が動くとき、その内心は半径が $\sqrt{a b c d} / s$ の円を描く。ただし、テンプレート:Mvarはいづれかの四角形の辺長で、テンプレート:Mvarは半周長。

4つの三角形の特徴づけ

凸四角形テンプレート:Mvarと対角線の交点テンプレート:Mvarから重なり合わない三角形テンプレート:Mathを作る。四角形が円に外接するときこれらの四角形は多くの特徴を持つ。

テンプレート:Mathの内半径をそれぞれテンプレート:Mathとする。チャオとシメオノフは四角形が円に外接することと次の式の成立が同値であることを証明した^[34]。

\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{3}} = \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{4}} .

ただし、この性質はVaynshtejnが5年早く発表していた^[22]テンプレート:Rp^[35]。この問題の解決は、VasilyevとSenderovの証明した性質が使われた。四角形の辺を底辺としてみたときの、4つの三角形の高さをそれぞれテンプレート:Mathとする。四角形が円に外接することと、以下の式が成り立つことは同値である^[8]^[35]。

\frac{1}{h_{1}} + \frac{1}{h_{3}} = \frac{1}{h_{2}} + \frac{1}{h_{4}} .

内半径と同様に、傍接円半径についても同じような性質がある。テンプレート:Mathの角テンプレート:Mvar内の傍接円の半径をそれぞれテンプレート:Mvarとする。四角形が円に外接することと、以下の式が成り立つことは同値である^[2]テンプレート:Rp。

\frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r_{c}} = \frac{1}{r_{b}} + \frac{1}{r_{d}} .

さらにこれらの三角形の外接円の半径をそれぞれテンプレート:Mathとして

R_{1} + R_{3} = R_{2} + R_{4} .

が成り立つことも、四角形が円に外接する必要十分条件となる^[36]テンプレート:Rp。

1996年、Vaynshtejnは美しい性質を初めに証明し、いくつかの雑誌やウェブサイトで掲載された^[2]テンプレート:Rp。それは、凸四角形が対角線の交点で4つの三角形に分割されていて、それら三角形の内心が共円ならば、その四角形は円に外接する、というものである。このとき4つの内心から成る四角形は円に内接する直角四角形である^[2]テンプレート:Rp。対角線の交点の角内にある傍接円に関しても、同様の性質が成り立ち、4つの傍心の成す四角形は円に内接する四角形となる^[2]テンプレート:Rp。

凸四角形テンプレート:Mvarとその対角線の交点テンプレート:Mvarについて、角テンプレート:Mvar内のテンプレート:Mathの傍心が共円であることと、四角形が円に外接することは同値である^[2]テンプレート:Rp。それらの傍接円半径をそれぞれテンプレート:Mvarとして、以下の式が成り立つこともまた、四角形が円に外接する必要十分条件となる^[2]テンプレート:Rp。

\frac{1}{R_{a}} + \frac{1}{R_{c}} = \frac{1}{R_{b}} + \frac{1}{R_{d}} .

さらに次の式が成り立つこともそれらと同値である^[8]。

\frac{a}{△ (A P B)} + \frac{c}{△ (C P D)} = \frac{b}{△ (B P C)} + \frac{d}{△ (D P A)}

ただしテンプレート:Mathでその三角形の面積を表す。

テンプレート:Mathとする。以下の式の成立も、四角形が円に外接する必要十分条件である^[37]。

a p_{2} q_{2} + c p_{1} q_{1} = b p_{1} q_{2} + d p_{2} q_{1}

または^[2]テンプレート:Rp

\frac{(p_{1} + q_{1} - a) (p_{2} + q_{2} - c)}{(p_{1} + q_{1} + a) (p_{2} + q_{2} + c)} = \frac{(p_{2} + q_{1} - b) (p_{1} + q_{2} - d)}{(p_{2} + q_{1} + b) (p_{1} + q_{2} + d)}

または^[2]テンプレート:Rp

\frac{(a + p_{1} - q_{1}) (c + p_{2} - q_{2})}{(a - p_{1} + q_{1}) (c - p_{2} + q_{2})} = \frac{(b + p_{2} - q_{1}) (d + p_{1} - q_{2})}{(b - p_{2} + q_{1}) (d - p_{1} + q_{2})} .