リウヴィル関数のソースを表示

'''リウヴィルラムダ関数'''（リウヴィルラムダかんすう、{{lang-en-short|Liouville function}}）は，[[ギリシャ文字]] <math>\lambda</math> を用いて <math>\lambda (n)</math> に表され，[[ジョセフ・リウヴィル]]にちなんで名付けられた、[[数論的関数]]である。

== 解説 ==
この関数は，<math>n</math> が[[素数]]を[[偶数]]回掛け合わせた数 (<math>0</math> 回でもよい) であるとき <math>1</math> を返し，[[奇数]]回掛け合わせた数であるとき <math>-1</math> を返す。

明示的に、[[算術の基本定理]]より，[[任意]]の[[自然数]] <math>n</math> を以下のように[[素因数分解]]表示することができ，その表示は[[一意]]に定まる。

<math>n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}p_3^{e_3} \cdots p_m^{e_m}</math>

ただし，<math>i < j</math> のとき <math>p_i < p_j</math> であり，<math>p_k</math> はいずれも素数，<math>e_k</math> はいずれも自然数とする。<math>1</math> は[[空積]]とする。以下は{{仮リンク|素数オメガ関数|en|Prime_omega_function}}である。

: <math> \omega(n) = m, </math>
: <math>\Omega (n) = e_1 + e_2 + e_3 + \cdots + e_m</math>

ここで，<math> \Omega (ab) = \Omega (a) + \Omega (b) </math> が成り立つから，<math> \Omega </math> は[[加法的関数|完全加法的関数]]である。

<math> \Omega </math> を用いると，<math> \lambda (n) </math> は次式で[[定義]]される。

: <math> \lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)} </math>

{{OEIS|A008836}}.

<math> \begin{align}
\lambda (ab) & = (-1)^{\Omega (ab)} \\
& = (-1)^{\Omega (a) + \Omega (b)} \\
& = (-1)^{\Omega (a)}\cdot (-1)^{\Omega (b)} \\
& = \lambda (a) \lambda (b)
\end{align} </math>

より，<math>\lambda</math> は[[乗法的関数|完全乗法的関数]]である。

<math> \lambda (n) </math> は[[メビウス関数]] <math> \mu (n) </math> と[[関係 (数学)|関係]]がある。<math> n </math> が[[平方因子をもたない整数]] <math> v </math> を用いて <math> n = u^2v </math> と表されるとき，

: <math> \lambda(n) = \mu(v). </math>

<math> n </math> の[[約数]] <math> d </math> についてリウヴィル関数の[[総和]]をとると，[[自乗|平方]]に関する[[指示関数]]となる。 

: <math>
\sum_{d|n}\lambda(d) =
\begin{cases}
1 & \text{if }n\text{ is a perfect square,} \\
0 & \text{otherwise.}
\end{cases}
</math>

この式の[[メビウスの反転公式|メビウス反転]]は

: <math>\lambda(n) = \sum_{d^2|n} \mu\left(\frac{n}{d^2}\right).</math>

<math> \lambda </math> の[[ディリクレの畳み込み|ディリクレ積]]に関する[[逆元]]はメビウス関数の[[絶対値]]である。すなわち，<math> q_2(n) = \left|\mu (n)\right| </math> と定義すると，<math> \lambda^{-1}=q_2 </math> (あるいは，単位元 <math> \epsilon </math> を用いて <math> \lambda * q_2 = \epsilon </math>)

== 級数 ==
リウヴィル関数の[[ディリクレ級数]]には[[リーマンゼータ関数]]が登場する。

: <math>\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}</math>

また

: <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda(n)\ln n}{n}=-\zeta(2)=-\frac{\pi^2}{6}.</math>

リウヴィル関数のランベルト級数は

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} = 
\sum_{n=1}^\infty q^{n^2} = 
\frac{1}{2}\left(\vartheta_3(q)-1\right)</math>

ここで <math>\vartheta_3(q)</math> は[[テータ関数]]である。

== 重みつき summatory 関数についての予想 ==
<div style="float: right; clear: right">
[[ファイル:Liouville.svg|なし|サムネイル|<math>n = 10^4</math>までのリウヴィル summatory 関数 <math>L(n)</math>]]
[[ファイル:Liouville-big.svg|なし|サムネイル|<math>n = 10^7</math> までのリウヴィル summatory 関数 <math>L(n)</math>]]
[[ファイル:Liouville-log.svg|なし|サムネイル|<math> n = 2 \times 10^9 </math> までのリウヴィル summatory 関数 <math>L(n)</math> のネガティブの対数グラフ]]
[[File:Liouville-harmonic.svg|なし|サムネイル|<math> n = 1000 </math> までのリウヴィル関数の調和 summatory 関数 <math> T(n) </math>]]
</div>ここで、

: <math> L(n)=\sum_{k=1}^n\lambda (k) </math>
: {{OEIS|id=A002819}},

と定義する。

また、

: <math>T(n) = \sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}{k}</math>

と定義する。

== 参考資料 ==
* {{Cite journal|last=Pólya|first=G.|year=1919|title=Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie|journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung|volume=28|pages=31–40}}
* {{Cite journal|last=Haselgrove|first=C. Brian|author-link=C・ブライアン・ヘイゼルグローブ|year=1958|title=A disproof of a conjecture of Pólya|journal=[[Mathematika]]|volume=5|issue=2|pages=141–145|doi=10.1112/S0025579300001480|issn=0025-5793|MR=0104638|zbl=0085.27102}}
* {{Cite journal|last=Lehman|first=R.|year=1960|title=On Liouville's function|journal=Mathematics of Computation|volume=14|issue=72|pages=311&ndash;320|doi=10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5|MR=0120198}}
* {{Cite journal|last=Tanaka|first=Minoru|year=1980|title=A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function|journal=[[Tokyo Journal of Mathematics]]|volume=3|issue=1|pages=187–189|doi=10.3836/tjm/1270216093|MR=0584557}}
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|title=Liouville Function}}
* {{SpringerEOM|title=Liouville function}}

{{デフォルトソート:りうういるかんすう}}
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[[Category:乗法]]
[[Category:数学に関する記事]]