リウヴィル関数

リウヴィルラムダ関数（リウヴィルラムダかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は，ギリシャ文字 $λ$ を用いて $λ (n)$ に表され，ジョセフ・リウヴィルにちなんで名付けられた、数論的関数である。

解説

この関数は， $n$ が素数を偶数回掛け合わせた数 ( $0$ 回でもよい) であるとき $1$ を返し，奇数回掛け合わせた数であるとき $- 1$ を返す。

明示的に、算術の基本定理より，任意の自然数 $n$ を以下のように素因数分解表示することができ，その表示は一意に定まる。

$n = p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} p_{3}^{e_{3}} \dots p_{m}^{e_{m}}$

ただし， $i < j$ のとき $p_{i} < p_{j}$ であり， $p_{k}$ はいずれも素数， $e_{k}$ はいずれも自然数とする。 $1$ は空積とする。以下はテンプレート:仮リンクである。

ω (n) = m,

Ω (n) = e_{1} + e_{2} + e_{3} + \dots + e_{m}

ここで， $Ω (a b) = Ω (a) + Ω (b)$ が成り立つから， $Ω$ は完全加法的関数である。

$Ω$ を用いると， $λ (n)$ は次式で定義される。

λ (n) = (- 1)^{Ω (n)}

$\begin{matrix} λ (a b) & = (- 1)^{Ω (a b)} \\ = (- 1)^{Ω (a) + Ω (b)} \\ = (- 1)^{Ω (a)} \cdot (- 1)^{Ω (b)} \\ = λ (a) λ (b) \end{matrix}$

より， $λ$ は完全乗法的関数である。

$λ (n)$ はメビウス関数 $μ (n)$ と関係がある。 $n$ が平方因子をもたない整数 $v$ を用いて $n = u^{2} v$ と表されるとき，

λ (n) = μ (v) .

$n$ の約数 $d$ についてリウヴィル関数の総和をとると，平方に関する指示関数となる。

\sum_{d | n} λ (d) = {\begin{matrix} 1 & if n is a perfect square, \\ 0 & otherwise. \end{matrix}

λ (n) = \sum_{d^{2} | n} μ (\frac{n}{d^{2}}) .

$λ$ のディリクレ積に関する逆元はメビウス関数の絶対値である。すなわち， $q_{2} (n) = | μ (n) |$ と定義すると， $λ^{- 1} = q_{2}$ (あるいは，単位元 $ϵ$ を用いて $λ * q_{2} = ϵ$ )

\frac{ζ (2 s)}{ζ (s)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{λ (n)}{n^{s}}

また

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{λ (n) \ln n}{n} = - ζ (2) = - \frac{π^{2}}{6} .

リウヴィル関数のランベルト級数は

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{λ (n) q^{n}}{1 - q^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} q^{n^{2}} = \frac{1}{2} (ϑ_{3} (q) - 1)

ここで $ϑ_{3} (q)$ はテータ関数である。

n = 1000

までのリウヴィル関数の調和 summatory 関数

T (n)

ここで、

L (n) = \sum_{k = 1}^{n} λ (k)

と定義する。

また、

T (n) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{λ (k)}{k}

と定義する。