テータ関数

テータ関数（テータかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は、

$\vartheta (z,\tau ):=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i{n}^2\tau +2\pi inz}.$

で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数 ${\vartheta }_{ab}(z,\tau )$、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数 ${\vartheta }_i(z,\tau )$ と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。 指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その定義にいくつかの流儀があり、同じ記号を使いながら違ったものを指していることがあるので注意が必要である。 これらの関数は、テンプレート:Mvar の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、テンプレート:Mvar の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。

テータ関数の定義

テータ関数は次のように定義される関数のことを指すテンプレート:Sfn。

$\vartheta (z,\tau ):=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i{n}^2\tau +2\pi inz}.$

テータ関数を テンプレート:Mvar の関数と見た場合、周期 テンプレート:Math の周期関数であるテンプレート:Sfn。

$\vartheta (z+1,\tau )=\vartheta (z,\tau ).$

一般には以下の等式を満たすテンプレート:Sfn。

$\vartheta (z+m\tau +n,\tau )=e^{-\pi i{m}^2\tau -2\pi imz}\vartheta (z,\tau ).$

ヤコビのテータ関数の定義

ヤコビのテータ関数は狭義の意味では次の関数のことを指すテンプレート:Sfn。

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Theta }(u)& :={\left(\frac{2k^{\prime }K}{\pi }\right)}^{1/2}\exp (\underset{0}{\overset{u}{\int }}\mathrm{d}tZ(t)),\\ {\mathrm{\Theta }}_1(u)& :=\mathrm{\Theta }(u+K).\end{array}$

ただし、$k^{\prime }:=\sqrt{1-k^2}$ は補母数、$K=K(k)$ は 第1種完全楕円積分、$Z(u)$ はヤコビのツェータ関数テンプレート:Sfn

$\begin{array}{cc}Z(u)& :=ℰ(u)-\frac{E(k)u}{K(k)},\\ ℰ(u)& :=\underset{0}{\overset{u}{\int }}\mathrm{d}t{\mathrm{d}\mathrm{n}}^{2}t=\underset{0}{\overset{\mathrm{s}\mathrm{n}u}{\int }}\mathrm{d}t\sqrt{\frac{1-k^2{t}^2}{1-t^2}}=\underset{0}{\overset{\mathrm{a}\mathrm{m}u}{\int }}\mathrm{d}\theta \sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta },\end{array}$

$ℰ(u)$ はヤコビのイプシロン関数、 $E(k)$ は第2種完全楕円積分、 $\mathrm{s}\mathrm{n}u=\mathrm{s}\mathrm{n}(u,k)$, $dnu=dn(u,k)$ は ヤコビの楕円関数、$\mathrm{a}\mathrm{m}u=\mathrm{a}\mathrm{m}(u,k)$ は振幅関数である。

また、ヤコビのエータ関数テンプレート:Sfn

$\begin{array}{cc}H(u)& :=-i\exp ((2u+i{K}^{\prime })\pi i/(4K))\mathrm{\Theta }(u+i{K}^{\prime }),i:=\sqrt{-1},\\ H_1(u)& :=H(u+K),\end{array}$

を含めて、$\mathrm{\Theta }(u)$, ${\mathrm{\Theta }}_1(u)$, $H(u)$, $H_1(u)$ のことをヤコビのテータ関数と呼ぶこともあるテンプレート:Sfn。ただし、$K^{\prime }:=K(k^{\prime })$ である。ヤコビのテータ関数は、後述の楕円テータ関数と以下の関係で結ばれているテンプレート:Sfn。

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Theta }(u)& ={\vartheta }_0(u/(2{\omega }_1)),{\mathrm{\Theta }}_1(u)={\vartheta }_3(u/(2{\omega }_1)),\\ H(u)& ={\vartheta }_1(u/(2{\omega }_1),H_1(u)={\vartheta }_2(u/(2{\omega }_1)),\end{array}$

ただし、${\omega }_1$ は、楕円関数の基本周期の半分で、$\tau ={\omega }_3/{\omega }_1$ である（$2{\omega }_1$, $2{\omega }_3$ が楕円関数の基本周期に相当する）テンプレート:Sfn。

物理の教科書では後述の ${\vartheta }_i(z,\tau )$ をヤコビのテータ関数と呼んでいるが、やや不正確な言い方である。

指標付きのテータ関数の定義

以下のように定義された、添え字を 2 つ持つテータ関数のことを指標付きのテータ関数と呼ぶテンプレート:Sfn。

${\vartheta }_{a,b}(z,\tau ):=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i(n+a{)}^2\tau +2\pi i(n+a)(z+b)},a,b\in ℝ.$

なお、指標付きのテータ関数の定義には 2 つの流儀があって統一的に用いられていないため、文献を読むときには注意しなければならない テンプレート:Sfn。 この記事で使われているのは、テンプレート:Harvnb で使われているのと同じ定義であるテンプレート:Sfn。

楕円テータ関数の定義

楕円テータ関数（だえんテータかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は、以下のように定義された関数であるテンプレート:Sfn。 ただし、$\mathrm{I}\mathrm{m}\tau >0$, $q:=e^{\pi i\tau }$ である。

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_1(v,\tau )& :=-{\vartheta }_{11}(v,\tau )=-\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2+2\pi i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})}\\ & =2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}\sin (2n+1)\pi v,\\ {\vartheta }_2(v,\tau )& :={\vartheta }_{10}(v,\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2+2\pi i(n+\frac{1}{2})v}\\ & =2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}\cos (2n+1)\pi v,\\ {\vartheta }_3(v,\tau )& :={\vartheta }_{00}(v,\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\pi \tau n^2+2\pi inv}\\ & =1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}\cos 2n\pi v,\\ {\vartheta }_4(v,\tau )& :={\vartheta }_{01}(v,\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2+2\pi in(v+\frac{1}{2})}\\ & =1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n^2}\cos 2n\pi v,\\ \end{array}$

楕円テータ関数にも定義に 2 つの流儀があり、注意が必要である。 フルヴィッツ・クーランの「楕円関数論」の定義では添え字が テンプレート:Math から テンプレート:Math ではなく、 テンプレート:Math から テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。 その場合は ${\vartheta }_1(v,\tau )$, ${\vartheta }_2(v,\tau )$, ${\vartheta }_3(v,\tau )$ の定義は変わらず、 ${\vartheta }_0(v,\tau ):={\vartheta }_4(v,\tau )$ で定義される。 文脈から テンプレート:Mvar あるいは テンプレート:Mvar が明らかな場合は ${\vartheta }_i(v)$ あるいは ${\vartheta }_i(\tau )$ と書き、更に${\vartheta }_i={\vartheta }_i(0,\tau )$ と書く。Mathematica では、$\pi v$ のことを テンプレート:Mvar と書いている。

擬二重周期

テータ関数は擬二重周期を持つ。

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_1(v+1;\tau )& =-\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2+2\pi i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2\pi i(n+\frac{1}{2})}\\ & =-\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2+2\pi i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+\pi i}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2+2\pi i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})}\\ & =-{\vartheta }_1(v;\tau )\\ \end{array}$

${\vartheta }_2(v+1;\tau )=-{\vartheta }_2(v;\tau )$

${\vartheta }_3(v+1;\tau )={\vartheta }_3(v;\tau )$

${\vartheta }_4(v+1;\tau )={\vartheta }_4(v;\tau )$

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_1(v+\tau ;\tau )& =-\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2+2\pi i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2\pi i(n+\frac{1}{2})\tau }\\ & =-\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+1+\frac{1}{2})}^2+2\pi i(n+1+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-\pi i\tau -2\pi i(v+\frac{1}{2})}\\ & =-\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2+2\pi i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-\pi i\tau -2\pi i(v+\frac{1}{2})}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2+2\pi i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-\pi i\tau -2\pi iv}\\ & =-e^{-\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv}{\vartheta }_1(v;\tau )\end{array}$

${\vartheta }_2(v+\tau ;\tau )=e^{-\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv}{\vartheta }_2(v;\tau )$

${\vartheta }_3(v+\tau ;\tau )=e^{-\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv}{\vartheta }_3(v;\tau )$

${\vartheta }_4(v+\tau ;\tau )=-e^{-\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv}{\vartheta }_4(v;\tau )$

無限乗積表示と零点

ヤコビの三重積の公式により、

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_1(v;\tau )& =-\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+1/2)}^2}{e}^{2\pi i(n+1/2)(v+1/2)}\\ & =-i{e}^{\pi i\tau /4}{e}^{\pi iv}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2}{e}^{\pi i\tau n+2\pi ivn+\pi in}\\ & =-i{e}^{\pi i\tau /4}{e}^{\pi iv}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1-e^{2m\pi i\tau }{e}^{2\pi iv})(1-e^{(2m-2)\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv})\\ & =-i{e}^{\pi i\tau /4}{e}^{\pi iv}(1-e^{-2\pi iv})\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1-e^{2m\pi i\tau }{e}^{2\pi iv})(1-e^{2m\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv})\\ & =2e^{\pi i\tau /4}\sin \pi v\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1-e^{2m\pi i\tau }{e}^{2\pi iv})(1-e^{2m\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv})\\ & =2e^{\pi i\tau /4}\sin \pi v\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1-2e^{2m\pi i\tau }\cos 2\pi v+e^{4m\pi i\tau })\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_2(v;\tau )& =2e^{\pi i\tau /4}\cos \pi v\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1+e^{2m\pi i\tau }{e}^{2\pi iv})(1+e^{2m\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv})\\ & =2e^{\pi i\tau /4}\cos \pi v\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1+2e^{2m\pi i\tau }\cos 2\pi v+e^{4m\pi i\tau })\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_3(v;\tau )& =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1+e^{(2m-1)\pi i\tau }{e}^{2\pi iv})(1+e^{(2m-1)\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv})\\ & =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1+2e^{(2m-1)\pi i\tau }\cos 2\pi v+e^{2(2m-1)\pi i\tau })\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_4(v;\tau )& =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1-e^{(2m-1)\pi i\tau }{e}^{2\pi iv})(1-e^{(2m-1)\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv})\\ & =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1-2e^{(2m-1)\pi i\tau }\cos 2\pi v+e^{2(2m-1)\pi i\tau })\\ \end{array}$

$|e^{2m\pi i\tau }|<1$であるから${\vartheta }_3(v;\tau )$の零点は

$\begin{array}{cc}\cos 2\pi v& =-\frac{e^{(2m-1)\pi i\tau }+e^{-(2m-1)\pi i\tau }}{2}\\ \cos 2\pi v& =\frac{e^{(2m-1)\pi i\tau +\pi i}+e^{-(2m-1)\pi i\tau -\pi i}}{2}\\ 2\pi v& =((2m-1)\pi \tau +\pi )\pm 2\pi n\\ v& =\frac{2n^{\prime }+1}{2}+\frac{2m^{\prime }+1}{2}\tau \end{array}$

である。他の関数の零点も同様にして求められる。

$\begin{array}{cc}& {\vartheta }_1(v;\tau )=0\iff v=n+m\tau \\ & {\vartheta }_2(v;\tau )=0\iff v=\frac{2n+1}{2}+m\tau \\ & {\vartheta }_3(v;\tau )=0\iff v=\frac{2n+1}{2}+\frac{2m+1}{2}\tau \\ & {\vartheta }_4(v;\tau )=0\iff v=n+\frac{2m+1}{2}\tau \\ \end{array}$

テータ定数

テンプレート:Math のときのテータ関数の値をテータ定数（テンプレート:Lang-en-short）あるいはテータ零値（テンプレート:Lang-de-short）という。これは定数といいながら実は テンプレート:Mvar の関数である。

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_2={\vartheta }_2(0;\tau )& =2e^{\pi i\tau /4}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau }){(1+e^{2m\pi i\tau })}^2\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_3={\vartheta }_3(0;\tau )& =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau }){(1+e^{(2m-1)\pi i\tau })}^2\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_4={\vartheta }_4(0;\tau )& =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau }){(1-e^{(2m-1)\pi i\tau })}^2\\ \end{array}$

${\vartheta }_1={\vartheta }_1(0;\tau )=0$であるから、代わりに導関数を用いる。

$\begin{array}{cc}{{\vartheta }_1}^{\prime }& ={[\frac{d}{dv}{\vartheta }_1(v;\tau )]}_{v=0}\\ & =2e^{\pi i\tau /4}\pi \cos (0)\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-e^{2m\pi i\tau })}^3+2e^{\pi i\tau /4}\sin (0)\frac{d}{dv}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1-e^{2m\pi i\tau }{e}^{2\pi iv})(1-e^{2m\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv})\\ & =2\pi e^{\pi i\tau /4}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-e^{2m\pi i\tau })}^3\\ \end{array}$

$c=\pi {\vartheta }_2{\vartheta }_3{\vartheta }_4/{{\vartheta }_1}^{\prime }$とすると

$\begin{array}{cc}c& =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+e^{2m\pi i\tau })}^2{(1+e^{(2m-1)\pi i\tau })}^2{(1-e^{(2m-1)\pi i\tau })}^2\\ & =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+e^{2m\pi i\tau })}^2{(1-e^{2(2m-1)\pi i\tau })}^2\\ \end{array}$

となるが、オイラーの分割恒等式により、

$\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1+e^{2m\pi i\tau })=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-e^{2(2m-1)\pi i\tau })}^{-1}$

であるから テンプレート:Math であり、故に ${{\vartheta }_1}^{\prime }=\pi {\vartheta }_2{\vartheta }_3{\vartheta }_4$ である。

恒等式

テータ関数の間で次の恒等式が成立する。

${\vartheta }_3(v+\frac{1}{2},\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2+2\pi in(v+1/2)}={\vartheta }_4(v,\tau )$

${\vartheta }_2(v+\frac{1}{2},\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau (n+1/2{)}^2+2\pi i(n+1/2)(v+1/2)}=-{\vartheta }_1(v,\tau )$

${\vartheta }_3(v+\frac{\tau }{2},\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2+2\pi in(v+\tau /2)}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau (n+1/2{)}^2-\pi i\tau /4+2\pi i(n+1/2)v-\pi iv}=e^{-\pi i\tau /4}{e}^{-\pi iv}{\vartheta }_2(v,\tau )$

擬二重周期と併せて

${\vartheta }_1(v\pm \frac{1}{2},\tau )=\pm {\vartheta }_2(v;\tau )$

${\vartheta }_2(v\pm \frac{1}{2},\tau )=\mp {\vartheta }_1(v;\tau )$

${\vartheta }_3(v\pm \frac{1}{2},\tau )={\vartheta }_4(v;\tau )$

${\vartheta }_4(v\pm \frac{1}{2},\tau )={\vartheta }_3(v;\tau )$

${\vartheta }_1(v\pm \frac{\tau }{2},\tau )=\pm i{e}^{-\pi i\tau /4}{e}^{\mp \pi iv}{\vartheta }_4(v;\tau )$

${\vartheta }_2(v\pm \frac{\tau }{2},\tau )=e^{-\pi i\tau /4}{e}^{\mp \pi iv}{\vartheta }_3(v;\tau )$

${\vartheta }_3(v\pm \frac{\tau }{2},\tau )=e^{-\pi i\tau /4}{e}^{\mp \pi iv}{\vartheta }_2(v;\tau )$

${\vartheta }_4(v\pm \frac{\tau }{2},\tau )=\pm i{e}^{-\pi i\tau /4}{e}^{\mp \pi iv}{\vartheta }_1(v;\tau )$

次の恒等式はヤコビの虚数変換式という。

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_1(\frac{v}{\tau },-\frac{1}{\tau })& =i{e}^{-i\pi /4}{\tau }^{1/2}{e}^{\pi i{v}^2/\tau }{\vartheta }_1(v,\tau ),\\ {\vartheta }_2(\frac{v}{\tau },-\frac{1}{\tau })& =e^{-i\pi /4}{\tau }^{1/2}{e}^{\pi i{v}^2/\tau }{\vartheta }_4(v,\tau ),\\ {\vartheta }_3(\frac{v}{\tau },-\frac{1}{\tau })& =e^{-i\pi /4}{\tau }^{1/2}{e}^{\pi i{v}^2/\tau }{\vartheta }_3(v,\tau ),\\ {\vartheta }_4(\frac{v}{\tau },-\frac{1}{\tau })& =e^{-i\pi /4}{\tau }^{1/2}{e}^{\pi i{v}^2/\tau }{\vartheta }_2(v,\tau ).\end{array}$

他に テンプレート:Mvar を変換するものとして

${\vartheta }_3(v,\tau +1)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i(\tau +1)n^2+2\pi inv}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{\pi i\tau n^2+2\pi inv}={\vartheta }_4(v,\tau )$

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_3(v,\tau )& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2+2\pi inv}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau (2n{)}^2+2\pi i(2n)v}+\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau (2n+1{)}^2+2\pi i(2n+1)v}(n\mapsto 2n,2n+1)\\ & ={\vartheta }_3(2v,4\tau )+{\vartheta }_2(2v,4\tau )\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_4(v,\tau )& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{\pi i\tau n^2+2\pi inv}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau (2n{)}^2+2\pi i(2n)v}-\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau (2n+1{)}^2+2\pi i(2n+1)v}(n\mapsto 2n,2n+1)\\ & ={\vartheta }_3(2v,4\tau )-{\vartheta }_2(2v,4\tau )\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_3{(0,\tau )}^2& =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau m^2}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2}=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau (m^2+n^2)}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau ((m+n{)}^2+(m-n{)}^2)/2}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau ((2m{)}^2+(2n{)}^2)/2}+\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau ((2m+1{)}^2+(2n+1{)}^2)/2}(\lfloor \frac{m+n}{2}\rfloor \mapsto m,\lfloor \frac{m-n}{2}\rfloor \mapsto n)\\ & ={\vartheta }_3{(0,2\tau )}^2+{\vartheta }_2{(0,2\tau )}^2\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_4{(0,\tau )}^2& =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{e}^{\pi i\tau m^2}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{\pi i\tau n^2}=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+n}{e}^{\pi i\tau (m^2+n^2)}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+n}{e}^{\pi i\tau ((m+n{)}^2+(m-n{)}^2)/2}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau ((2m{)}^2+(2n{)}^2)/2}-\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau ((2m+1{)}^2+(2n+1{)}^2)/2}(\lfloor \frac{m+n}{2}\rfloor \mapsto m,\lfloor \frac{m-n}{2}\rfloor \mapsto n)\\ & ={\vartheta }_3{(0,2\tau )}^2-{\vartheta }_2{(0,2\tau )}^2\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_2{(0,\tau )}^2& =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau (m+1/2{)}^2}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau (n+1/2{)}^2}=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau ((m+1/2{)}^2+(n+1/2{)}^2)}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau ((m+n+1{)}^2+(m-n{)}^2)/2}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau ((2m+1{)}^2+(2n{)}^2)/2}+\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau ((2m+2{)}^2+(2n+1{)}^2)/2}(\lfloor \frac{m+n}{2}\rfloor \mapsto m,\lfloor \frac{m-n}{2}\rfloor \mapsto n)\\ & =2{\vartheta }_3(0,2\tau ){\vartheta }_2(0,2\tau )\end{array}$

これにより

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_3{(0,\tau )}^4-{\vartheta }_4{(0,\tau )}^4& ={({\vartheta }_3{(0,2\tau )}^2+{\vartheta }_2{(0,2\tau )}^2)}^2-{({\vartheta }_3{(0,2\tau )}^2-{\vartheta }_2{(0,2\tau )}^2)}^2\\ & =4{\vartheta }_3{(0,2\tau )}^2{\vartheta }_2{(0,2\tau )}^2\\ & ={\vartheta }_2{(0,\tau )}^4\end{array}$

ランデンの公式

次の恒等式はランデンの公式 テンプレート:En という。

${\vartheta }_4(0,2\tau ){\vartheta }_4(2v,2\tau )={\vartheta }_3(v,\tau ){\vartheta }_4(v,\tau )$

${\vartheta }_4(0,2\tau ){\vartheta }_1(2v,2\tau )={\vartheta }_2(v,\tau ){\vartheta }_1(v,\tau )$

第一式の右辺を展開すれば

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_3(v,\tau ){\vartheta }_4(v,\tau )& =\left(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2+2\pi inv}\right)(\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{e}^{\pi i\tau m^2+2\pi imv})\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{e}^{\pi i\tau (n^2+m^2)+2\pi i(n+m)v}\\ \end{array}$

となるが、$n\pm m$ が奇数の項は $n\gtrless m$ で打ち消し合うから

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_3(v,\tau ){\vartheta }_4(v,\tau )& =\sum _{n^{\prime }=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m^{\prime }=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n^{\prime }-m^{\prime }}{e}^{2\pi i\tau (n{\text{'}}^2+m{\text{'}}^2)+4\pi i{n}^{\prime }v}(n\mapsto n^{\prime }+m^{\prime },m\mapsto n^{\prime }-m^{\prime })\\ & =(\sum _{n^{\prime }=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n^{\prime }}{e}^{2\pi i\tau n{\text{'}}^2+4\pi i{n}^{\prime }v})(\sum _{m^{\prime }=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m^{\prime }}{e}^{2\pi i\tau m{\text{'}}^2})\\ & ={\vartheta }_4(2v,2\tau ){\vartheta }_4(0,2\tau )\end{array}$

となり、左辺を得る。第二式は第一式に $v^{\prime }=v+\frac{\tau }{2}$ を代入して得られる。

加法定理

例えば

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_3(x+y,\tau ){\vartheta }_3(x-y,\tau )& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2+2\pi in(x+y)+\pi i\tau m^2+2\pi im(x-y)}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi i\tau {\left(\frac{n+m}{2}\right)}^2+4\pi i\left(\frac{n+m}{2}\right)x+2\pi i\tau {\left(\frac{n-m}{2}\right)}^2+4\pi i\left(\frac{n-m}{2}\right)y}\\ \end{array}$

であるが、$n\pm m$ は共に偶数か共に奇数であるから、$N=\lfloor \frac{n+m}{2}\rfloor ,M=\lfloor \frac{n-m}{2}\rfloor$ とすれば

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_3(x+y,\tau ){\vartheta }_3(x-y,\tau )& =\sum _{N=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{M=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi i\tau N^2+4\pi iNx+2\pi i\tau M^2+4\pi iMy}(n\pm m\text{even})\\ & +\sum _{N=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{M=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi i\tau {(N+\frac{1}{2})}^2+4\pi i(N+\frac{1}{2})x+2\pi i\tau {(M+\frac{1}{2})}^2+4\pi i(M+\frac{1}{2})y}(n\pm m\text{odd})\\ & ={\vartheta }_3(2x,2\tau ){\vartheta }_3(2y,2\tau )+{\vartheta }_2(2x,2\tau ){\vartheta }_2(2y,2\tau )\end{array}$

となる。ここで $x\mapsto x+\frac{1}{2}\tau$ とすれば

${\vartheta }_2(x+y,\tau ){\vartheta }_2(x-y,\tau )={\vartheta }_2(2x,2\tau ){\vartheta }_3(2y,2\tau )+{\vartheta }_3(2x,2\tau ){\vartheta }_2(2y,2\tau )$

となり、$x\mapsto x+\frac{1}{2}$ とすれば

${\vartheta }_4(x+y,\tau ){\vartheta }_4(x-y,\tau )={\vartheta }_3(2x,2\tau ){\vartheta }_3(2y,2\tau )-{\vartheta }_2(2x,2\tau ){\vartheta }_2(2y,2\tau )$

となる。これらにより

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_3(x+y,\tau ){\vartheta }_3(x-y,\tau ){\vartheta }_3^2(0,\tau )& =({\vartheta }_3(2x,2\tau ){\vartheta }_3(2y,2\tau )+{\vartheta }_2(2x,2\tau ){\vartheta }_2(2y,2\tau ))({\vartheta }_3^2(0,2\tau )+{\vartheta }_2^2(0,2\tau ))\\ & =({\vartheta }_3(2x,2\tau ){\vartheta }_2(0,2\tau )+{\vartheta }_2(2x,2\tau ){\vartheta }_3(0,2\tau ))({\vartheta }_2(2y,2\tau ){\vartheta }_3(0,2\tau )+{\vartheta }_3(2y,2\tau ){\vartheta }_2(0,2\tau ))\\ & +({\vartheta }_3(2x,2\tau ){\vartheta }_3(0,2\tau )-{\vartheta }_2(2x,2\tau ){\vartheta }_2(0,2\tau ))({\vartheta }_3(2y,2\tau ){\vartheta }_3(0,2\tau )-{\vartheta }_2(2y,2\tau ){\vartheta }_2(0,2\tau ))\\ & ={\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )+{\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )\end{array}$

が得られ、同様にして数十もの恒等式が得られる。

$\begin{array}{cc}& {\vartheta }_1(x+y,\tau ){\vartheta }_1(x-y,\tau ){\vartheta }_2^2(0,\tau )={\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )-{\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )-{\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )\\ & {\vartheta }_2(x+y,\tau ){\vartheta }_2(x-y,\tau ){\vartheta }_2^2(0,\tau )={\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )-{\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )-{\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )\\ & {\vartheta }_3(x+y,\tau ){\vartheta }_3(x-y,\tau ){\vartheta }_2^2(0,\tau )={\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )+{\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )+{\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )\\ & {\vartheta }_4(x+y,\tau ){\vartheta }_4(x-y,\tau ){\vartheta }_2^2(0,\tau )={\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )+{\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )+{\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}& {\vartheta }_1(x+y,\tau ){\vartheta }_1(x-y,\tau ){\vartheta }_3^2(0,\tau )={\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )-{\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )-{\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )\\ & {\vartheta }_2(x+y,\tau ){\vartheta }_2(x-y,\tau ){\vartheta }_3^2(0,\tau )={\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )-{\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )-{\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )\\ & {\vartheta }_3(x+y,\tau ){\vartheta }_3(x-y,\tau ){\vartheta }_3^2(0,\tau )={\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )+{\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )+{\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )\\ & {\vartheta }_4(x+y,\tau ){\vartheta }_4(x-y,\tau ){\vartheta }_3^2(0,\tau )={\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )+{\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )+{\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}& {\vartheta }_1(x+y,\tau ){\vartheta }_1(x-y,\tau ){\vartheta }_4^2(0,\tau )={\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )-{\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )-{\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )\\ & {\vartheta }_2(x+y,\tau ){\vartheta }_2(x-y,\tau ){\vartheta }_4^2(0,\tau )={\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )-{\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )-{\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )\\ & {\vartheta }_3(x+y,\tau ){\vartheta }_3(x-y,\tau ){\vartheta }_4^2(0,\tau )={\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )-{\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )-{\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )\\ & {\vartheta }_4(x+y,\tau ){\vartheta }_4(x-y,\tau ){\vartheta }_4^2(0,\tau )={\vartheta }_4^2(x,\tau ){\vartheta }_4^2(y,\tau )-{\vartheta }_1^2(x,\tau ){\vartheta }_1^2(y,\tau )={\vartheta }_3^2(x,\tau ){\vartheta }_3^2(y,\tau )-{\vartheta }_2^2(x,\tau ){\vartheta }_2^2(y,\tau )\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}& {\vartheta }_1(x+y,\tau ){\vartheta }_2(x-y,\tau ){\vartheta }_3(0,\tau ){\vartheta }_4(0,\tau )={\vartheta }_1(x,\tau ){\vartheta }_2(x,\tau ){\vartheta }_3(y,\tau ){\vartheta }_4(y,\tau )+{\vartheta }_3(x,\tau ){\vartheta }_4(x,\tau ){\vartheta }_1(y,\tau ){\vartheta }_2(y,\tau )\\ & {\vartheta }_1(x+y,\tau ){\vartheta }_3(x-y,\tau ){\vartheta }_2(0,\tau ){\vartheta }_4(0,\tau )={\vartheta }_1(x,\tau ){\vartheta }_3(x,\tau ){\vartheta }_2(y,\tau ){\vartheta }_4(y,\tau )+{\vartheta }_2(x,\tau ){\vartheta }_4(x,\tau ){\vartheta }_1(y,\tau ){\vartheta }_3(y,\tau )\\ & {\vartheta }_1(x+y,\tau ){\vartheta }_4(x-y,\tau ){\vartheta }_3(0,\tau ){\vartheta }_2(0,\tau )={\vartheta }_1(x,\tau ){\vartheta }_4(x,\tau ){\vartheta }_3(y,\tau ){\vartheta }_2(y,\tau )+{\vartheta }_3(x,\tau ){\vartheta }_2(x,\tau ){\vartheta }_1(y,\tau ){\vartheta }_4(y,\tau )\\ \end{array}$

テンプレート:Math とすれば

$\begin{array}{cc}& {\vartheta }_1(2z,\tau ){\vartheta }_2(0,\tau ){\vartheta }_3(0,\tau ){\vartheta }_4(0,\tau )=2{\vartheta }_1(z,\tau ){\vartheta }_2(z,\tau ){\vartheta }_3(z,\tau ){\vartheta }_4(z,\tau )\\ & {\vartheta }_2(2z,\tau ){\vartheta }_2^3(0,\tau )={\vartheta }_2^4(z,\tau )-{\vartheta }_1^4(z,\tau )={\vartheta }_3^4(z,\tau )-{\vartheta }_4^4(z,\tau )\\ & {\vartheta }_3(2z,\tau ){\vartheta }_3^3(0,\tau )={\vartheta }_3^4(z,\tau )+{\vartheta }_1^4(z,\tau )={\vartheta }_2^4(z,\tau )+{\vartheta }_4^4(z,\tau )\\ & {\vartheta }_4(2z,\tau ){\vartheta }_4^3(0,\tau )={\vartheta }_4^4(z,\tau )-{\vartheta }_1^4(z,\tau )={\vartheta }_3^4(z,\tau )-{\vartheta }_2^4(z,\tau )\\ \end{array}$

などが得られ、更に テンプレート:Math とすれば

${\vartheta }_3^4(0,\tau )={\vartheta }_2^4(0,\tau )+{\vartheta }_4^4(0,\tau )$

が得られる。

対数微分

無限乗積表示

${\vartheta }_1(v,\tau )=2e^{\pi i\tau /4}\sin \pi v\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi i\tau })(1-e^{2m\pi i\tau }{e}^{2\pi iv})(1-e^{2m\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv})$

の対数微分により

$\begin{array}{cc}\frac{{{\vartheta }_1}^{\prime }(v,\tau )}{{\vartheta }_1(v,\tau )}& =\frac{\partial }{\partial v}\log {\vartheta }_1(v,\tau )\\ & =\frac{\pi \cos \pi v}{\sin \pi v}-2\pi i\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{2m\pi i\tau }{e}^{2\pi iv}}{1-e^{2m\pi i\tau }{e}^{2\pi iv}}+2\pi i\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{2m\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv}}{1-e^{2m\pi i\tau }{e}^{-2\pi iv}}\\ & =\pi \cot \pi v-2\pi i\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{2mn\pi i\tau }{e}^{2\pi inv}\right)+2\pi i\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{2mn\pi i\tau }{e}^{-2\pi inv}\right)\\ & =\pi \cot \pi v-2\pi i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{2mn\pi i\tau }\right)(e^{2\pi inv}-e^{-2\pi inv})\\ & =\pi \cot \pi v+4\pi \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{2n\pi i\tau }}{1-e^{2n\pi i\tau }}\sin 2\pi nv\\ \end{array}$

である。同様に

$\begin{array}{cc}\frac{{{\vartheta }_2}^{\prime }(v,\tau )}{{\vartheta }_2(v,\tau )}& =-\pi \tan \pi v+4\pi \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{e}^{2n\pi i\tau }}{1-e^{2n\pi i\tau }}\sin 2\pi nv\\ \frac{{{\vartheta }_3}^{\prime }(v,\tau )}{{\vartheta }_3(v,\tau )}& =4\pi \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{e}^{n\pi i\tau }}{1-e^{2n\pi i\tau }}\sin 2\pi nv\\ \frac{{{\vartheta }_4}^{\prime }(v,\tau )}{{\vartheta }_4(v,\tau )}& =4\pi \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{n\pi i\tau }}{1-e^{2n\pi i\tau }}\sin 2\pi nv\\ \end{array}$

である。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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関連項目

• ヤコビ
• リーマン
• 代数幾何学
• 超弦理論
• シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
• テンプレート:仮リンク