ヤコビの虚数変換式

ヤコビの虚数変換式(Jacobi's imaginary transformation)は、楕円テータ関数に関する以下のような恒等式である。

${\vartheta }_3(\frac{v}{\tau },-\frac{1}{\tau })=e^{-\pi i/4}{\tau }^{1/2}{e}^{\pi i{v}^2/\tau }{\vartheta }_3(v,\tau )$

${\vartheta }_1(\frac{v}{\tau },-\frac{1}{\tau })=-i{e}^{-\pi i/4}{\tau }^{1/2}{e}^{\pi i{v}^2/\tau }{\vartheta }_1(v,\tau )$

${\vartheta }_2(\frac{v}{\tau },-\frac{1}{\tau })=e^{-\pi i/4}{\tau }^{1/2}{e}^{\pi i{v}^2/\tau }{\vartheta }_4(v,\tau )$

${\vartheta }_4(\frac{v}{\tau },-\frac{1}{\tau })=e^{-\pi i/4}{\tau }^{1/2}{e}^{\pi i{v}^2/\tau }{\vartheta }_2(v,\tau )$

この恒等式の日本語の呼称は定まっておらず、ヤコビの虚数変換式、ヤコビのモジュラー変換式、あるいは単にヤコビ変換式とも呼ばれる。テータ関数は二変数の関数であるが、第二変数を純虚数の定数として第一変数に着目すれば「虚数変換式」という呼称が的を射て、第一変数を定数として第二変数に着目すれば「モジュラー変換式」という呼称が的を射る。

公式に関する注意点

• ${\theta }_i(z,\tau )$の定義は一意ではなく、いくつかの流儀があり文献によって異なるので注意が必要である(主として、${\theta }_{ij}(z,\tau )$の定義の違いが混乱を生んでいる)。この記事での定義は、D.Mumfordに従った次のようなものである。

$\begin{array}{cc}{\theta }_0(z,\tau )& :={\theta }_{01}(z,\tau )\\ & :=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2+2\pi in(z+\frac{1}{2})}\\ & =1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{\pi i\tau n^2}\cos 2n\pi z,\\ {\theta }_1(z,\tau )& :=-{\theta }_{11}(z,\tau )\\ & :=-\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2+2\pi i(n+\frac{1}{2})(z+\frac{1}{2})}\\ & =2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2}\sin (2n+1)\pi z,\\ {\theta }_2(z,\tau )& :={\theta }_{10}(z,\tau )\\ & :=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2+2\pi i(n+\frac{1}{2})z}\\ & =2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau {(n+\frac{1}{2})}^2}\cos (2n+1)\pi z,\\ {\theta }_3(z,\tau )& :={\theta }_{00}(z,\tau )\\ & :=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2+2\pi inz}\\ & =1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2}\cos 2n\pi z.\end{array}$

• 「岩波数学公式集Ⅲ」p.48.では誤った式が書かれているので注意せよ。

楕円関数の虚数変換

ヤコビの楕円関数はテータ関数の比により表される。楕円関数の周期を$K,i{K}^{\prime }$とすると

$\tau =\frac{i{K}^{\prime }}{K}$

$k={\left(\frac{{\vartheta }_2(0,\tau )}{{\vartheta }_3(0,\tau )}\right)}^2$

$\mathrm{sn}(u,k)=\frac{{\vartheta }_3(0,\tau ){\vartheta }_1(u/2K,\tau )}{{\vartheta }_2(0,\tau ){\vartheta }_4(u/2K,\tau )}$

$\mathrm{cn}(u,k)=\frac{{\vartheta }_4(0,\tau ){\vartheta }_2(u/2K,\tau )}{{\vartheta }_2(0,\tau ){\vartheta }_4(u/2K,\tau )}$

テータ関数の虚数変換式により

${\tau }^{\prime }=-\frac{1}{\tau }=\frac{iK}{K^{\prime }}$

$k^{\prime }={\left(\frac{{\vartheta }_2(0,{\tau }^{\prime })}{{\vartheta }_3(0,{\tau }^{\prime })}\right)}^2$

$\mathrm{sn}(iu,k)=\frac{{\vartheta }_3(0,\tau ){\vartheta }_1(iu/2K,\tau )}{{\vartheta }_2(0,\tau ){\vartheta }_4(iu/2K,\tau )}=\frac{i{\vartheta }_3(0,{\tau }^{\prime }){\vartheta }_1(u/2K^{\prime },{\tau }^{\prime })}{{\vartheta }_4(0,{\tau }^{\prime }){\vartheta }_2(u/2K^{\prime },{\tau }^{\prime })}=i\frac{\mathrm{sn}(u,k^{\prime })}{\mathrm{cn}(u,k^{\prime })}$

$\mathrm{cn}(iu,k)=\frac{{\vartheta }_4(0,\tau ){\vartheta }_2(iu/2K,\tau )}{{\vartheta }_2(0,\tau ){\vartheta }_4(iu/2K,\tau )}=\frac{{\vartheta }_2(0,{\tau }^{\prime }){\vartheta }_4(u/2K^{\prime },{\tau }^{\prime })}{{\vartheta }_4(0,{\tau }^{\prime }){\vartheta }_2(u/2K^{\prime },{\tau }^{\prime })}=\frac{1}{\mathrm{cn}(u,k^{\prime })}$

となり、楕円関数の虚数変数を得る。

証明

${\vartheta }_3(v,\tau )$の虚数変換式の両辺の比を$f(v,\tau )$して恒等的に$f(v,\tau )=1$であることを証明する。テータ関数の二重周期性により

$f(v,\tau )=\frac{\sqrt{-i\tau }{e}^{\pi i{v}^2/\tau }{\vartheta }_3(v,\tau )}{{\vartheta }_3(\frac{v}{\tau },-\frac{1}{\tau })}$

$f(v+1,\tau )=\frac{\sqrt{-i\tau }{e}^{\pi i{v}^2/\tau +2\pi iv/\tau +\pi i/\tau }{\vartheta }_3(v+1,\tau )}{{\vartheta }_3(\frac{v}{\tau }+\frac{1}{\tau },-\frac{1}{\tau })}=\frac{\sqrt{-i\tau }{e}^{\pi i{v}^2/\tau +2\pi iv/\tau +\pi i/\tau }{\vartheta }_3(v,\tau )}{e^{\pi i/\tau +2\pi iv/\tau }{\vartheta }_3(\frac{v}{\tau },-\frac{1}{\tau })}=f(v,\tau )$

$f(v+\tau ,\tau )=\frac{\sqrt{-i\tau }{e}^{\pi i(v+\tau {)}^2/\tau }{\vartheta }_3(v+\tau ,\tau )}{{\vartheta }_3(\frac{v}{\tau }+1,-\frac{1}{\tau })}=\frac{\sqrt{-i\tau }{e}^{\pi i{v}^2/\tau +2\pi iv+\pi i\tau }{e}^{-\pi i\tau -2\pi iv}{\vartheta }_3(v,\tau )}{{\vartheta }_3(\frac{v}{\tau },-\frac{1}{\tau })}=f(v,\tau )$

であるから、$f(v,\tau )$は$v$の関数として二重周期を持つ。また、テータ関数は極を持たず、零点は

${\vartheta }_3(\frac{1\pm 2m}{2}+\frac{(1\pm 2n)\tau }{2},\tau )=0$

${\vartheta }_3(\frac{1\pm 2m}{2}-\frac{1\pm 2n}{2\tau },-\frac{1}{\tau })=0$

であるから、$f(v,\tau )$は$v$の関数として複素平面全体で有界である。したがって、リウヴィルの定理により$v$には依存しない。

$\begin{array}{cc}f(\frac{1}{2},\tau )& =\frac{\sqrt{-i\tau }{e}^{\pi i/4\tau }{\vartheta }_3(\frac{1}{2},\tau )}{{\vartheta }_3(\frac{1}{2\tau },-\frac{1}{\tau })}=\frac{\sqrt{-i\tau }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{n^2\pi i\tau +n\pi i}}{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{n^2-\pi i/\tau +n\pi i/\tau }{e}^{-\pi i/4\tau }}\\ & =\frac{\sqrt{-i\tau }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{n^2\pi i\tau }}{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(2n-1{)}^2\pi i/4\tau }}\\ & =\frac{\sqrt{-i\tau }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{n^2\pi i\tau }}{2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(2n-1{)}^2\pi i/4\tau }}\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}f(\frac{1}{4},\frac{\tau }{4})& =\frac{\sqrt{-i(\tau /4)}{e}^{\pi i/4\tau }{\vartheta }_3(\frac{1}{4},\frac{\tau }{4})}{{\vartheta }_3(\frac{1}{\tau },-\frac{4}{\tau })}=\frac{\sqrt{-i\tau }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{n^2\pi i\tau /4+n\pi i/2}}{2\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-4n^2\pi i/\tau +2n\pi i/\tau }{e}^{-\pi i/4\tau }}\\ & =\frac{\sqrt{-i\tau }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{i}^n{e}^{n^2\pi i\tau /4}}{2\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(2n-1/2{)}^2\pi i/\tau }}=\frac{\sqrt{-i\tau }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{i}^n{e}^{n^2\pi i\tau /4}}{2(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(2n-1/2{)}^2\pi i/\tau }+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(-2n+1-1/2{)}^2\pi i/\tau })}\\ & =\frac{\sqrt{-i\tau }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{i}^n{e}^{n^2\pi i\tau /4}}{2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(n-1/2{)}^2\pi i/\tau }}\\ \end{array}$

分子の$n$が奇数の項は正負で打ち消しあうから偶数の$n$を$2n$に改める。

$\begin{array}{cc}f(\frac{1}{4},\frac{\tau }{4})& =\frac{\sqrt{-i\tau }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{i}^{2n}{e}^{(2n{)}^2\pi i\tau /4}}{2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(n-1/2{)}^2\pi i/\tau }}=\frac{\sqrt{-i\tau }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{n^2\pi i\tau }}{2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(n-1/2{)}^2\pi i/\tau }}=f(\frac{1}{2},\tau )\\ \end{array}$

先に示したように$f(v,\tau )$は$v$に依存しないので

$f(v,\tau )=f(v,\frac{\tau }{4})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(v,\frac{\tau }{4^n})=\underset{{\tau }^{\prime }\to 0}{\lim }f(v,{\tau }^{\prime })=f(v,0)$

であり、$f(v,\tau )$は$\tau$にも依存しない定数である。その値は

$f(v,\tau )=f(0,i)=\frac{{\vartheta }_3(0,i)}{{\vartheta }_3(0,i)}=1$

である。