リウヴィルの定理 (解析学)

リウヴィルの定理（Liouville's theorem）は、有界な整関数は定数関数に限るということを主張する複素解析の定理である。ジョゼフ・リウヴィルにちなむ。整関数とは複素平面全体において正則（複素微分可能）な関数をいう。有界であるとは、ある実定数テンプレート:Mvar が存在して、任意の複素数テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math となることをいう。

証明

f(z) を整関数で、M を定数、任意の z ∈ C に対して |f(z)| ≤ M とする。f を原点を中心にテイラー展開する：

f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n} .

a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!} = \frac{1}{2 π i} \oint_{C_{r}} \frac{f (ζ)}{ζ^{n + 1}} d ζ

である。ただし、C_r は原点を中心とする半径 r > 0 の円である。仮定により |f(z)| ≤ M であるから

| a_{n} | \leq \frac{1}{2 π} \oint_{C_{r}} \frac{| f (ζ) |}{| ζ |^{n + 1}} | d ζ | \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{M}{r^{n + 1}} r d θ = \frac{M}{r^{n}}

である。r は任意であるから n ≥ 1 のとき r → +∞ として a_n = 0 を得る。

以下の記事にリウヴィルの定理を適用する例がある。

リウヴィルの定理が応用される例として、代数学の基本定理の証明があるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math を定数関数ではない、複素係数の多項式とする。任意のテンプレート:Math に対し、テンプレート:Math とすると、テンプレート:Math は有界な整関数となる。したがって、リウヴィルの定理により、テンプレート:Math は定数関数となり、仮定に矛盾する。

リウヴィルの定理は、複素バナッハ空間の有界線形作用素のスペクトル集合が空集合でないことを示すのに適用される。

テンプレート:Mvarをテンプレート:Mathでない複素バナッハ空間とし、テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvar上の有界線形作用素とすると、そのスペクトル集合テンプレート:Mathは空ではない。実際、テンプレート:Mathとすると、補集合であるレゾルベント集合テンプレート:Mathはテンプレート:Math全体となる。このとき、すべてのテンプレート:Mathに対して、レゾルベント作用素テンプレート:Mathは、テンプレート:Mvarについて作用素ノルムでの極限の意味で正則となる。よって、任意のテンプレート:Mathとテンプレート:Mathに対し、テンプレート:Mathはテンプレート:Math上の有界な整関数となる。リウヴィルの定理より、これは定数関数であり、さらにはゼロとなる。したがって、テンプレート:Mathとなり、矛盾する。

このリウヴィルの定理を用いた証明はイズライル・ゲルファントによって、与えられた^[1]。

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