リエナールの定理のソースを表示

{{出典の明記| date = 2023年4月}}
[[力学系]]において、'''リエナールの定理''' (''Liénard's theorem'') とは[[リミットサイクル]]の存在を示す定理。

== リエナール方程式 ==
次のような微分方程式を、'''リエナール方程式'''という。

{{Indent|<math>{d^2x \over dt^2} +f(x){dx \over dt} + g(x) = 0 </math>}}

== リエナールの定理 ==
リエナール方程式が次の5つの条件を満たすとき、<math>\left(x , {dx \over dt} \right)</math> 平面状に唯一の安定なリミットサイクルを持つ。

# ''f(x)'' と ''g(x)'' の微分が連続（C<sup>1</sup>級）
# ''g(x)'' が[[奇関数]]
# ''f(x)'' が[[偶関数]]
# ''x'' > 0 ならば、 ''g(x)'' > 0
# 次のような ''a'' が存在する。奇関数 <math>F(x) = \int^x_0 \!f(u)\, du</math> が、
#*<math>0<x<a</math> ならば、<math>F(x) < 0</math>
#*<math>F(a) = 0</math>
#*<math>x>a</math> ならば、正かつ非減少


== リエナール系 ==

リエナール方程式は、

:<math>F(x) := \int_0^x f(\xi) d\xi</math>
:<math>x_1:= x\,</math> 
:<math>x_2:={dx \over dt} + F(x)</math> 
と置くことで、等価な2次元の常微分方程式系に変換できる。

:<math>
\begin{bmatrix} 
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 
\end{bmatrix}
= 
\mathbf{h}(x_1, x_2) 
:= 
\begin{bmatrix} 
x_2 - F(x_1) \\
-g(x_1)
\end{bmatrix}
</math>

これを'''リエナール系'''と呼ぶ.

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|アルフレド＝マリー・リエナール|en|Alfred-Marie Liénard}}
* [[ファン・デル・ポール振動子]]

{{DEFAULTSORT:りえなあるのていり}}
[[Category:力学系の定理]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エポニム]]