リエナールの定理

テンプレート:出典の明記 力学系において、リエナールの定理 (Liénard's theorem) とはリミットサイクルの存在を示す定理。

リエナール方程式

次のような微分方程式を、リエナール方程式という。

リエナールの定理

リエナール方程式が次の5つの条件を満たすとき、$(x,\frac{dx}{dt})$ 平面状に唯一の安定なリミットサイクルを持つ。

1. f(x) と g(x) の微分が連続（C¹級）
2. g(x) が奇関数
3. f(x) が偶関数
4. x > 0 ならば、 g(x) > 0
5. 次のような a が存在する。奇関数 $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(u)du$ が、
   • $0<x<a$ ならば、$F(x)<0$
   • $F(a)=0$
   • $x>a$ ならば、正かつ非減少

リエナール系

リエナール方程式は、

$F(x):=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi )d\xi$

$x_1:=x$

$x_2:=\frac{dx}{dt}+F(x)$

と置くことで、等価な2次元の常微分方程式系に変換できる。

$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=𝐡(x_1,x_2):=\left[\begin{array}{c}{x}_2-F(x_1)\\ -g(x_1)\end{array}\right]$

これをリエナール系と呼ぶ.

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• ファン・デル・ポール振動子