リュイリエの定理のソースを表示

'''リュイリエの定理'''（{{lang-en-short|''L'Huilier's theorem''}}) とは、[[初等幾何学]]における[[三角形]]についての[[定理]]で、[[1809年]]に<ref name="iwata1">{{Cite book|和書 |author=[[岩田至康]] |title=幾何学大辞典 |volume=1 |publisher=[[槙書店]] |year=1971 |pages=15,193}}</ref>[[スイス]]の[[数学者]][[サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエ]]によって提唱されたものである。

== 定理 ==
{{Math theorem|リュイリエの定理|[[三角形]]の[[内接円]]の半径を <math>r</math>、3つの[[三角形の内接円と傍接円|傍接円]]の半径をそれぞれ <math>r_{\text{A}}, r_{\text{B}}, r_{\text{C}}</math> とすると、
:<math>\frac{1}{r} = \frac{1}{r_{\text{A}}} + \frac{1}{r_{\text{B}}} + \frac{1}{r_{\text{C}}}</math>
}}

== 証明 ==
面積{{mvar|S}} の三角形の3辺を {{math2|''a'', ''b'', ''c''}} とする。

内接円の半径{{mvar|r}} の逆数は
:<math>\frac{1}{r} = \frac{a+b+c}{2S}</math>
3傍接円の半径 {{math2|''r''{{sub|A}}, ''r''{{sub|B}}, ''r''{{sub|C}}}} の逆数は
:<math>\frac{1}{r_\text{A}} = \frac{-a+b+c}{2S}</math>
:<math>\frac{1}{r_\text{B}} = \frac{a-b+c}{2S}</math>
:<math>\frac{1}{r_\text{C}} = \frac{a+b-c}{2S}</math>

故に逆数和は
:<math>\begin{align}
\frac{1}{r_\text{A}} + \frac{1}{r_\text{B}} + \frac{1}{r_\text{C}}
  &= \frac{-a+b+c}{2S} + \frac{a-b+c}{2S} + \frac{a+b-c}{2S} \\
  &= \frac{a+b+c}{2S} = \frac{1}{r}
\end{align}</math>
となる。

== 派生項目 ==
リュイリエは、彼の著書 (Lhuilier, 1809) において
: <math>S = \sqrt{r \cdot r_\text{A} \cdot r_\text{B} \cdot r_\text{C} \vphantom{A}}</math>
であることも示唆している。

これより
: <math>r_\text{A} \, r_\text{B} \, r_\text{C} = \frac{S^2}{r}</math>
であるから、リュイリエの定理：
:<math>\frac{1}{r_\text{A}} + \frac{1}{r_\text{B}} + \frac{1}{r_\text{C}} = \frac{1}{r}</math>
と辺々掛け合わせると
:<math>r_\text{B} \, r_\text{C} + r_\text{C} \, r_\text{A} + r_\text{A} \, r_\text{B} = s^2</math>
が得られる。ここで {{mvar|s}} は {{math|△ABC}} の[[半周長]] {{math2|(''a'' + ''b'' + ''c'')/2}} である。この等式は、[[カール・フォイエルバッハ]]が[[1822年]]に得たものである<ref name="iwata1"/><ref>それよりも前にリュイリエが彼の著書 (Lhuilier, 1809) において全く同等の等式を示唆している（224頁）。</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[三角形の内接円と傍接円]]
* [[三角形#内接円・傍接円による式]]

== 出典 ==
* {{Cite book |title=Elémens d'analyse géométrique et d'analyse algébrique, appliquées à la recherche des lieux géométriques |author=[[サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエ|Simon Lhuilier]] |publisher=A Paris: chez J. J. Paschoud; à Genève: chez le même libraire |year=1809 |doi=10.3931/e-rara-4330 |pages=223-224}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|809|図形の美しい３つの定理〜逆数の和〜}}

[[Category:三角形に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{DEFAULTSORT:りゆいりえのていり}}