リュイリエの定理

リュイリエの定理（テンプレート:Lang-en-short) とは、初等幾何学における三角形についての定理で、1809年にスイスの数学者サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエによって提唱されたものである。

証明

面積テンプレート:Mvar の三角形の3辺を テンプレート:Math2 とする。

内接円の半径テンプレート:Mvar の逆数は

$\frac{1}{r}=\frac{a+b+c}{2S}$

3傍接円の半径 テンプレート:Math2 の逆数は

$\frac{1}{r_{\text{A}}}=\frac{-a+b+c}{2S}$

$\frac{1}{r_{\text{B}}}=\frac{a-b+c}{2S}$

$\frac{1}{r_{\text{C}}}=\frac{a+b-c}{2S}$

故に逆数和は

$\begin{array}{cc}\frac{1}{r_{\text{A}}}+\frac{1}{r_{\text{B}}}+\frac{1}{r_{\text{C}}}& =\frac{-a+b+c}{2S}+\frac{a-b+c}{2S}+\frac{a+b-c}{2S}\\ & =\frac{a+b+c}{2S}=\frac{1}{r}\end{array}$

となる。

派生項目

リュイリエは、彼の著書 (Lhuilier, 1809) において

$S=\sqrt{r\cdot r_{\text{A}}\cdot r_{\text{B}}\cdot r_{\text{C}}\phantom{A}}$

であることも示唆している。

これより

$r_{\text{A}}{r}_{\text{B}}{r}_{\text{C}}=\frac{S^2}{r}$

であるから、リュイリエの定理：

$\frac{1}{r_{\text{A}}}+\frac{1}{r_{\text{B}}}+\frac{1}{r_{\text{C}}}=\frac{1}{r}$

と辺々掛け合わせると

$r_{\text{B}}{r}_{\text{C}}+r_{\text{C}}{r}_{\text{A}}+r_{\text{A}}{r}_{\text{B}}=s^2$

が得られる。ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の半周長 テンプレート:Math2 である。この等式は、カール・フォイエルバッハが1822年に得たものである。

関連項目

• 三角形の内接円と傍接円
• 三角形#内接円・傍接円による式

出典

• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語