リュカ三次曲線のソースを表示

[[ファイル:LucasCubic.png|サムネイル|リュカが提案した定義で作図したリュカ三次曲線。|412x412ピクセル]]'''リュカ三次曲線'''（リュカさんじきょくせん、{{Lang-en-short|Lucas Cubic}}）は、[[曲線]]上の点とその[[等長共役|等長共役点]]が、[[Encyclopedia of Triangle Centers]]でX(69)に登録されている点と[[共線]]であるような[[三次曲線]]である<ref name=":2">{{Cite book|和書 |title=解析幾何学 : 円錐曲線 |year=1914 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂]] |page=732 |doi=10.11501/952208 |translator=[[小倉金之助]] |author=サーモン}}</ref><ref name=":0">{{Cite web |title=Lucas Cubic |url=https://mathworld.wolfram.com/LucasCubic.html |website=[[MathWorld]] |access-date=2024-08-08 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

後述する定義を提案した[[エドゥアール・リュカ]]に因んで命名された<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal|date=1876|title=Questions|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1876_2_15__240_0/|journal=[[Nouvelles Annales de Mathématiques]] : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale|volume=15|pages=240–240|language=fr|issn=2400-4782}}</ref>。[[Catalogue of Triangle Cubics]]ではK007に登録されている<ref name=":1">{{Cite web |title=K007 |url=http://bernard-gibert.fr/Exemples/k007.html |website=[[Catalogue of Triangle Cubics]] |access-date=2024-08-08}}</ref>。

== 座標 ==
[[重心座標]]と[[コンウェイの記法 (幾何学)|コンウェイの記法]]を用いて、次の式で表せる。

: <math>S_Ax(y^2-z^2) + S_By(z^2-x^2) + S_Cz(x^2-y^2) = 0.</math>

== X(69) ==
X(69)は[[中点三角形|逆補三角形]]の[[類似重心]]である<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS　X(69) = SYMMEDIAN POINT OF THE ANTICOMPLEMENTARY TRIANGLE |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X69 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-08-08}}</ref>。[[垂心]]の等長共役点で、GK線<ref>{{Cite web |title=CENTRAL LINES |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/CentralLines.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-08-08}}</ref>（[[幾何中心|重心]]と類似重心を結ぶ直線）、[[ジェルゴンヌ点]]と[[ナーゲル点]]を通る直線などの交点である。

重心座標では次の式で与えられる。

<math>\Bigl(b^2+c^2-a^2:c^2+a^2-b^2:a^2+b^2-c^2\Bigr)</math>

== 定義 ==
リュカ三次曲線の定義には以下の様なものが知られる<ref name=":1" />。

* 曲線上の点とその等長共役点がX(69)を通るような曲線。
* [[チェバ線|チェバ三角形]]が[[垂足三角形]]であるような点の[[軌跡 (数学)|軌跡]]。その垂足三角形と基準三角形の[[対垂三角形|対垂]]の中心は{{仮リンク|ダルブー三次曲線|nl|Kubische kromme van Darboux}}を描く。ダルブ―三次曲線をリュカ三次曲線と言う場合もある<ref name=":2" />。
* [[17点3次曲線]]の[[補点 (三角形)#逆補点|逆補]]。
* [[チェバ線|チェバ円共役]]点が[[ド・ロンシャン点]]と共線であるような軌跡（つまりチェバ円共役によって不変）。

== 曲線上の点 ==

* 基準三角形の頂点
* 逆補三角形の頂点
* [[幾何中心|重心]]X(2)
* [[垂心]]X(4)
* [[ド・ロンシャン点]]X(20)
* [[ジェルゴンヌ点]]X(7)
* [[ナーゲル点]]X(8)
* X(69)
* [[シュタイナー楕円]]の[[焦点 (幾何学)|焦点]]

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ノイベルグ三次曲線]]
* [[マッケイ三次曲線|マッケー三次曲線]]
* [[三次曲線#三角形の三次曲線|三角形の三次曲線]]

{{デフォルトソート:りゆかさんしきよくせん}}
[[Category:三次曲線]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エドゥアール・リュカ]]
[[Category:三角形]]