リュカ三次曲線

リュカ三次曲線（リュカさんじきょくせん、テンプレート:Lang-en-short）は、曲線上の点とその等長共役点が、Encyclopedia of Triangle CentersでX(69)に登録されている点と共線であるような三次曲線である^[1]^[2]。

後述する定義を提案したエドゥアール・リュカに因んで命名された^[2]^[3]。Catalogue of Triangle CubicsではK007に登録されている^[4]。

座標

重心座標とコンウェイの記法を用いて、次の式で表せる。

S_{A} x (y^{2} - z^{2}) + S_{B} y (z^{2} - x^{2}) + S_{C} z (x^{2} - y^{2}) = 0 .

X(69)は逆補三角形の類似重心である^[5]。垂心の等長共役点で、GK線^[6]（重心と類似重心を結ぶ直線）、ジェルゴンヌ点とナーゲル点を通る直線などの交点である。

重心座標では次の式で与えられる。

$(b^{2} + c^{2} - a^{2} : c^{2} + a^{2} - b^{2} : a^{2} + b^{2} - c^{2})$

リュカ三次曲線の定義には以下の様なものが知られる^[4]。

曲線上の点とその等長共役点がX(69)を通るような曲線。
チェバ三角形が垂足三角形であるような点の軌跡。その垂足三角形と基準三角形の対垂の中心はテンプレート:仮リンクを描く。ダルブ―三次曲線をリュカ三次曲線と言う場合もある^[1]。
17点3次曲線の逆補。
チェバ円共役点がド・ロンシャン点と共線であるような軌跡（つまりチェバ円共役によって不変）。