リュカ数のソースを表示

{{Expand English|Lucas number|date=2024年5月}}
'''リュカ数'''（リュカすう、{{lang-en-short|Lucas number}}）とは、[[フランス]]の[[数学者]][[エドゥアール・リュカ]]に因んで名付けられた数であり、''n'' 番目のリュカ数を ''L{{sub|n}}'' で表すと
: <math>L_0=2,\ L_1=1,</math>
: <math>L_{n+2}=L_n+L_{n+1}</math>
で定義される[[数列]]にある項のことである。つまり、初項（最初のリュカ数）を 2、次の項を 1 と定義し、それ以降の項は前の2つの項の和になっている数列のことである。

== 最初の50項 ==
[[2]], [[1]], [[3]], [[4]], [[7]], [[11]], [[18]], [[29]], [[47]], [[76]], [[123]], [[199]], [[322]], [[521]], 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803, 141422324, 228826127, 370248451, 599074578, 969323029, 1568397607, 2537720636, 4106118243, 6643838879, 10749957122, 17393796001.（{{OEIS|id=A000032}}）

== 負の番号への拡張 ==
[[漸化式]] ''L''{{sub|''n''+2}} = ''L{{sub|n}}'' + ''L''{{sub|''n''+1}} を全ての整数 ''n'' に対して適用すると、''n'' が負の整数である場合に拡張できる。例えば、-5 ≤ ''n'' ≤ 5 に対するリュカ数は次の値になる。
: -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11
さらに、一般には ''L''{{sub|-''n''}} = (-1){{sup|''n''}}''L{{sub|n}}'' となる。

== 数学的性質 ==
リュカ数は、[[フィボナッチ数]]と共に自然界に多く存在する。またフィボナッチ数 ''F{{sub|n}}'' との間に多くの関係式があり、例として
: <math>L_n = F_{n-1}+F_{n+1}</math>
: <math>F_{2n} = L_n F_n</math>
: <math>F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}</math>
などが挙げられる。また同じ項番号のフィボナッチ数とリュカ数の比 ''L{{sub|n}}''/''F{{sub|n}}'' は、''n'' が大きくなるにつれて {{math2|1={{sqrt|5}} = 2.23606798…}} に収束する。

フィボナッチ数と同様に、リュカ数も隣接する2項の比 ''L''{{sub|''n''+1}}/''L{{sub|n}}'' は ''n'' が大きくなるにつれて[[黄金比]] <math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> = 1.61803398… に近づく。

''n'' 番目のリュカ数は以下の式で表される。
:<math>L_n = \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n= \varphi^n + (1-\varphi)^n = {\varphi^n + (-\varphi)^{-n}}</math>
ここで <math>\varphi</math> は黄金比である。

== リュカ素数 ==
'''リュカ素数'''（リュカそすう、{{lang-en-short|Lucas prime}}）とは、リュカ数である[[素数]]である。

リュカ素数 ''L{{sub|n}}'' の最初のいくつかの項は以下の通りである。
: 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ….（{{OEIS|id=A005479}}）

''L{{sub|n}}'' の ''n'' は以下の通りである。
: 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, ….（{{OEIS|id=A001606}}）

''n'' = 0, 4, 8, 16 の場合を除いて、''L{{sub|n}}'' が素数ならば ''n'' も素数である<ref>{{Cite web |url=https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=LucasPrime |title=The Prime Glossary: Lucas prime |accessdate=2019-08-22}}</ref>。しかし、''n'' が素数でも、''L{{sub|n}}'' が素数になるとは限らない。

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書 |author=中村滋|authorlink=中村滋 (数学者) |date=2002-09 |title=フィボナッチ数の小宇宙（ミクロコスモス）　フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割 |publisher=[[日本評論社]] |isbn=4-535-78281-4 |ref={{Harvid|中村|2002}}}}
** {{Cite book|和書 |author=中村滋 |year=2008-01 |title=フィボナッチ数の小宇宙（ミクロコスモス）　フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割 |publisher=日本評論社 |edition=改訂版 |isbn=978-4-535-78492-5 |ref={{Harvid|中村|2008}}}}
* {{Citation |last=Carmichael |first=R. D. |authorlink=Robert Daniel Carmichael |doi=10.2307/1967797 |issue=1/4 |journal=Annals of Mathematics |pages=30-70 |title=On the numerical factors of the arithmetic forms α{{sup|''n''}}±β{{sup|''n''}} |volume=15 |year=1913 |jstor=1967797}}
* {{Citation |first=Edouard |last=Lucas |title=Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques |journal=American Journal of Mathematics |volume=1 |issue=2 |year=1878 |language=fr |publisher=Johns Hopkins University Press |pages=pp.184-240 et 289-321 |id={{doi|10.2307/2369308}} |url=http://edouardlucas.free.fr/oeuvres/Theorie_des_fonctions_simplement_periodiques.pdf |format=PDF}}
** {{Citation |first=Edouard |last=Lucas |others=Translated by Sidney Kravitz |year=1969 |title=The Theory of Simply Periodic Numerical Functions |publisher=Fibonacci Association |language=en |page=77 |url=http://www.fq.math.ca/simply-periodic.html |format=PDF}} - {{Harvtxt|Lucas|1878}}の前半の英訳。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[黄金比]]
* [[数列]]
* [[フィボナッチ数]]
* [[リュカ数列]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|2715|リュカ数の意味とおもしろい性質}}
* {{MathWorld|title=Lucas Number|urlname=LucasNumber}}
* {{MathWorld|title=Lucas Prime|urlname=LucasPrime}}
* [https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=48 The Top Twenty: Lucas Number]
* [https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=LucasPrime The Prime Glossary: Lucas prime]

{{級数}}

{{DEFAULTSORT:りゆかすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:エドゥアール・リュカ]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]