リュカ数

テンプレート:Expand English リュカ数（リュカすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、フランスの数学者エドゥアール・リュカに因んで名付けられた数であり、n 番目のリュカ数を Lテンプレート:Sub で表すと

$L_0=2,L_1=1,$

$L_{n+2}=L_n+L_{n+1}$

で定義される数列にある項のことである。つまり、初項（最初のリュカ数）を 2、次の項を 1 と定義し、それ以降の項は前の2つの項の和になっている数列のことである。

最初の50項

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803, 141422324, 228826127, 370248451, 599074578, 969323029, 1568397607, 2537720636, 4106118243, 6643838879, 10749957122, 17393796001.（テンプレート:OEIS）

負の番号への拡張

漸化式 Lテンプレート:Sub = Lテンプレート:Sub + Lテンプレート:Sub を全ての整数 n に対して適用すると、n が負の整数である場合に拡張できる。例えば、-5 ≤ n ≤ 5 に対するリュカ数は次の値になる。

-11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11

さらに、一般には Lテンプレート:Sub = (-1)テンプレート:SupLテンプレート:Sub となる。

数学的性質

リュカ数は、フィボナッチ数と共に自然界に多く存在する。またフィボナッチ数 Fテンプレート:Sub との間に多くの関係式があり、例として

$L_n=F_{n-1}+F_{n+1}$

$F_{2n}=L_n{F}_n$

$F_n=\frac{L_{n-1}+L_{n+1}}{5}$

などが挙げられる。また同じ項番号のフィボナッチ数とリュカ数の比 Lテンプレート:Sub/Fテンプレート:Sub は、n が大きくなるにつれて テンプレート:Math2 に収束する。

フィボナッチ数と同様に、リュカ数も隣接する2項の比 Lテンプレート:Sub/Lテンプレート:Sub は n が大きくなるにつれて黄金比 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ = 1.61803398… に近づく。

n 番目のリュカ数は以下の式で表される。

$L_n={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n={\phi }^n+(1-\phi {)}^n={\phi }^n+(-\phi {)}^{-n}$

ここで $\phi$ は黄金比である。

リュカ素数

リュカ素数（リュカそすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、リュカ数である素数である。

リュカ素数 Lテンプレート:Sub の最初のいくつかの項は以下の通りである。

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ….（テンプレート:OEIS）

Lテンプレート:Sub の n は以下の通りである。

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, ….（テンプレート:OEIS）

n = 0, 4, 8, 16 の場合を除いて、Lテンプレート:Sub が素数ならば n も素数である。しかし、n が素数でも、Lテンプレート:Sub が素数になるとは限らない。

参考文献

• テンプレート:Cite book
  • テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
  • テンプレート:Citation - テンプレート:Harvtxtの前半の英訳。

関連項目

• 黄金比
• 数列
• フィボナッチ数
• リュカ数列

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• The Top Twenty: Lucas Number
• The Prime Glossary: Lucas prime