リースポテンシャルのソースを表示

[[数学]]における'''リースポテンシャル'''（{{Lang-en-short|Riesz potential}}）とは、その発見者である[[ハンガリー]]の[[数学者]][[マルツェル・リース]]の名にちなむ、ある[[ポテンシャル論|ポテンシャル]]のことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上の[[ラプラス作用素]]の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数の{{仮リンク|リーマン＝リウヴィル積分|en|Riemann–Liouville integral}}は複数変数へと一般化される。

0&nbsp;<&nbsp;&alpha;&nbsp;<&nbsp;''n'' であるとき、'''R'''<sup>''n''</sup> 上の[[局所可積分函数]] ''f'' のリースポテンシャル ''I''<sub>&alpha;</sub>''f'' は、次式で定義される。

{{NumBlk|:|<math>(I_{\alpha}f) (x)= \frac{1}{c_\alpha} \int_{{\mathbb{R}}^n} \frac{f(y)}{| x - y |^{n-\alpha}} \, \mathrm{d}y.</math>|{{EquationRef|1}}}}

ただしこの定数は次で与えられる。

:<math>c_\alpha = \pi^{n/2}2^\alpha\frac{\Gamma(\alpha/2)}{\Gamma((n-\alpha)/2)}.</math>

この{{仮リンク|特異積分|en|singular integral}}は、''f'' が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1&nbsp;≤&nbsp;''p''&nbsp;<&nbsp;''n''/&alpha; に対して ''f''&nbsp;&isin;&nbsp;[[Lp空間|L<sup>''p''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)]]であるときに、well-defined となる。''p''&nbsp;>&nbsp;1 であるなら、''f'' の減衰率と ''I''<sub>&alpha;</sub>''f'' の減衰率は不等式（{{仮リンク|1=ハーディ＝リトルウッド=ソボレフ不等式|2=en|3=Hardy–Littlewood–Sobolev inequality}}）
:<math>\|I_\alpha f\|_{p^*} \le C_p \|f\|_p,\quad p^*=\frac{np}{n-\alpha p} </math>
によって関連付けられる。より一般に作用素 ''I''<sub>&alpha;</sub> は、0&nbsp;<&nbsp;Re&nbsp;&alpha;&nbsp;<&nbsp;''n'' を満たす[[複素数]] &alpha; に対して well-defined である。

リースポテンシャルは、次の[[畳み込み]]として、より一般に[[シュワルツ超函数|弱い意味]]で定義することが出来る：

:<math>I_\alpha f = f*K_\alpha. \,</math>

ここで ''K''<sub>&alpha;</sub> は局所可積分函数
:<math>K_\alpha(x) = \frac{1}{c_\alpha}\frac{1}{|x|^{n-\alpha}} </math>
である。したがってリースポテンシャルは、''f'' がコンパクトな台を持つ超函数である時はいつでも定義される。この点に関し、[[台 (測度論)|コンパクトな台]]を持つある正の[[ボレル測度]] &mu; のリースポテンシャルは、''I''<sub>&alpha;</sub>&mu; がその &mu; の台を除く（連続な）[[劣調和函数]]であり、'''R'''<sup>''n''</sup> 全体で[[半連続|下半連続]]であることから、[[ポテンシャル論]]における主要な興味を集めるものとなっている。

[[フーリエ変換]]を考えることで、リースポテンシャルは{{仮リンク|乗数 (フーリエ解析)|label=フーリエ乗数|en|Multiplier (Fourier analysis)}}であることが分かる。実際、
:<math>\widehat{K_\alpha}(\xi) = |2\pi\xi|^{-\alpha}</math>
であるので、[[畳み込み定理]]より
:<math>\widehat{I_\alpha f}(\xi) = |2\pi\xi|^{-\alpha} \hat{f}(\xi) </math>
が得られる。

リースポテンシャルは、例えば急減少函数に対し、次の[[半群|半群性]]を満たす：
:<math>I_\alpha I_\beta = I_{\alpha+\beta}.\ </math>
ただし
:<math>0 < \operatorname{Re\,} \alpha, \operatorname{Re\,} \beta < n,\quad 0 < \operatorname{Re\,} (\alpha+\beta) < n </math>
が満たされているものとする。さらに、2&nbsp;<&nbsp;Re&nbsp;&alpha;&nbsp;<''n'' であるなら
:<math>\Delta I_{\alpha+2} = -I_\alpha \ </math>
が成立する。また、この函数のクラスに対しては
:<math>\lim_{\alpha\to 0^+} (I^\alpha f)(x) = f(x) </math>
が成立する。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ベッセルポテンシャル|en|Bessel potential}}
* [[分数冪積分]]
* [[ソボレフ空間]]
* {{仮リンク|分数冪シュレディンガー方程式|en|Fractional Schrödinger equation}}

== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Landkof | first1=N. S. | title=Foundations of modern potential theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | id={{MathSciNet | id = 0350027}} | year=1972}}
*{{Citation | last1=Riesz | first1=Marcel | author1-link=マルツェル・リース | title=L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy | id={{MathSciNet | id = 0030102}} | year=1949 | journal=[[Acta Mathematica]] | issn=0001-5962 | volume=81 | pages=1–223 | doi=10.1007/BF02395016}}.
* {{SpringerEOM|title=Riesz potential|last=Solomentsev|first=E.D.|urlname=Riesz_potential}}
* {{citation|first=Elias|last=Stein|authorlink=:en:Elias M. Stein|title=Singular integrals and differentiability properties of functions|publisher=[[Princeton University Press]]|location=Princeton, NJ|year=1970|isbn=0-691-08079-8}}

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