リースポテンシャル

数学におけるリースポテンシャル（テンプレート:Lang-en-short）とは、その発見者であるハンガリーの数学者マルツェル・リースの名にちなむ、あるポテンシャルのことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上のラプラス作用素の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数のテンプレート:仮リンクは複数変数へと一般化される。

0 < α < n であるとき、Rⁿ 上の局所可積分函数 f のリースポテンシャル I_αf は、次式で定義される。

ただしこの定数は次で与えられる。

$c_{\alpha }={\pi }^{n/2}{2}^{\alpha }\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha /2)}{\mathrm{\Gamma }((n-\alpha )/2)}.$

このテンプレート:仮リンクは、f が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1 ≤ p < n/α に対して f ∈ L^p(Rⁿ)であるときに、well-defined となる。p > 1 であるなら、f の減衰率と I_αf の減衰率は不等式（テンプレート:仮リンク）

$\Vert I_{\alpha }f{\Vert }_{p^{*}}\le C_p\Vert f{\Vert }_p,p^{*}=\frac{np}{n-\alpha p}$

によって関連付けられる。より一般に作用素 I_α は、0 < Re α < n を満たす複素数 α に対して well-defined である。

リースポテンシャルは、次の畳み込みとして、より一般に弱い意味で定義することが出来る：

$I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }.$

ここで K_α は局所可積分函数

$K_{\alpha }(x)=\frac{1}{c_{\alpha }}\frac{1}{|x{|}^{n-\alpha }}$

である。したがってリースポテンシャルは、f がコンパクトな台を持つ超函数である時はいつでも定義される。この点に関し、コンパクトな台を持つある正のボレル測度 μ のリースポテンシャルは、I_αμ がその μ の台を除く（連続な）劣調和函数であり、Rⁿ 全体で下半連続であることから、ポテンシャル論における主要な興味を集めるものとなっている。

フーリエ変換を考えることで、リースポテンシャルはテンプレート:仮リンクであることが分かる。実際、

$\widehat{K_{\alpha }}(\xi )=|2\pi \xi {|}^{-\alpha }$

であるので、畳み込み定理より

$\widehat{I_{\alpha }f}(\xi )=|2\pi \xi {|}^{-\alpha }\hat{f}(\xi )$

が得られる。

リースポテンシャルは、例えば急減少函数に対し、次の半群性を満たす：

$I_{\alpha }{I}_{\beta }=I_{\alpha +\beta }.$

ただし

$0<\mathrm{R}\mathrm{e}\alpha ,\mathrm{R}\mathrm{e}\beta <n,0<\mathrm{R}\mathrm{e}(\alpha +\beta )<n$

が満たされているものとする。さらに、2 < Re α <n であるなら

$\mathrm{\Delta }{I}_{\alpha +2}=-I_{\alpha }$

が成立する。また、この函数のクラスに対しては

$\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }(I^{\alpha }f)(x)=f(x)$

が成立する。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 分数冪積分
• ソボレフ空間
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation.
• テンプレート:SpringerEOM
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