劣調和函数

数学において劣調和函数（れつちょうわかんすう、テンプレート:Lang-en-short）および優調和函数（ゆうちょうわかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は、偏微分方程式、複素解析およびポテンシャル論において幅広く用いられている重要な函数のクラスである。

直観的に言えば、劣調和函数は以下のような意味で一変数の凸函数と関係がある:

「凸函数のグラフと直線が二点で交わるとき、その二点間では凸函数のグラフは直線の下にある」ことと同様に「球体の境界上での劣調和函数の値が常に適当な調和函数の値よりも大きくないならば、球体の内側においても劣調和函数の値はその調和函数の値よりも大きくならない。」

優調和函数は、同じ記述において「大きくない」という箇所を「小さくない」に替えたものによって定義することができる。あるいは同じことになるが、優調和函数とは劣調和函数の負函数にちょうどなっているものである。また、このことから劣調和函数のどのような性質も、優調和函数の対応する性質に読み替えるのは容易である。

厳密な定義

定義を厳密に述べれば以下の通りである。テンプレート:Mvar をユークリッド空間 テンプレート:Math の部分集合とし、

$\phi :G\to ℝ\cup \{-\mathrm{\infty }\}$

を上半連続函数とする。このとき テンプレート:Mvar が劣調和であるとは、テンプレート:Mvar に含まれる中心 テンプレート:Mvar, 半径 テンプレート:Mvar の閉球体 テンプレート:Math を任意にとるとき、テンプレート:Math 上の実数値連続函数 テンプレート:Mvar がテンプレート:Math 上で調和かつ テンプレート:Math の境界 テンプレート:Math 上の任意の点 テンプレート:Mvar において テンプレート:Math を満たすならばかならず、テンプレート:Math 上の任意の点 テンプレート:Mvar においても常に テンプレート:Math となるときに言う。

この定義によると、恒等的に テンプレート:Math である函数も劣調和的ということになる。研究者によってはこの場合は定義から除くこともある。

函数 $u$ が優調和的であるとは、$-u$ が劣調和的であることを言う。

性質

• 函数が調和的であるための必要十分条件は、それが劣調和的かつ優調和的であることである。
• テンプレート:Math が テンプレート:Math 内のある開集合上で テンプレート:Math-級（二回連続的微分可能）であるとき、テンプレート:Math が劣調和的であるための必要十分条件は、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 上で成り立つことである。ここで テンプレート:Math はラプラシアンである。
• 定数でない劣調和函数の最大値は、その定義域の内部では到達されない。これがいわゆる最大値原理である。しかし劣調和函数の最小値には、その定義域の内部で到達することがある。
• 劣調和函数の全体は凸錐を成す。すなわち、劣調和函数の正係数線型結合はまた、劣調和的である。
• 二つの劣調和函数の各点毎の最大値は、劣調和的である。
• 劣調和函数の減少列の極限は劣調和的（あるいは恒等的に $-\mathrm{\infty }$）である。

複素平面における劣調和函数

劣調和函数は複素解析において特に重要な役割を担う。その分野では、劣調和函数は正則函数と密接に関連している。

ある集合 $G\subset ℂ$ で定義される複素変数（すなわち実 2 変数）の実数値連続函数 $\phi$ が劣調和的であるための必要十分条件は、$z$ を中心とする半径 $r$ の任意の閉円板 $D(z,r)\subset G$ に対して次が成立することである。

$\phi (z)\le \frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\phi (z+r{\mathrm{e}}^{i\theta })d\theta .$

直観的に言うと、劣調和函数の任意の点での値は、その点を中心とするある円板内の値の平均よりも大きくならないということをこの不等式は意味している。この事実は最大値原理を導く上で利用することが出来る。

$f$ が正則函数であるとき、

$\phi (z)=\log |f(z)|$

は、$f$ の零点での $\phi (z)$ の値を −∞ とすることで劣調和函数となる。また

${\psi }_{\alpha }(z)={|f(z)|}^{\alpha }$

はすべての α > 0 に対して劣調和的である。この事実は、特に 0 < p < 1 に対するハーディ空間 H^p の研究において有用となる。

複素平面の文脈において、ある領域 $G\subset ℂ$ 上の劣調和函数 $f$ で虚軸方向に定数であるようなものは、実軸方向に凸である（またその逆も成り立つ）という事実により、 劣調和函数と凸函数の関係が分かる。

劣調和函数の調和優函数

テンプレート:Mvar は複素平面内の領域 テンプレート:Mvar 上で劣調和的、および テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上で調和的とする。テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の調和優函数（harmonic majorant）であるとは、テンプレート:Math において テンプレート:Math となることを言う。この不等式を テンプレート:Mvar に対する増大度条件として見ることができる。

単位円板内の劣調和函数と動径方向最大値函数

複素数平面における閉単位円板 テンプレート:Math を含む開集合 テンプレート:Mvar 上で定義された劣調和非負連続函数 テンプレート:Mvar を考える。テンプレート:Mvar（を単位円板に制限したもの）の動径方向最大値函数（radial maximal function）とは、

$(M\phi )(e^{i\theta })=\underset{0\le r<1}{\sup }\phi (r{e}^{i\theta })$

で定義される単位円周上の函数である。テンプレート:Math をポアソン核とすると劣調和性により

$0\le \phi (r{e}^{i\theta })\le \frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{P}_r(\theta -t)\phi (e^{it})dt,(r<1)$

が成り立つ。右辺の積分は、テンプレート:Mvar の単位円周 テンプレート:Math への制限に対するテンプレート:仮リンク テンプレート:Math の テンプレート:Mvar における値

${\phi }^{*}(e^{i\theta })=\underset{0<\alpha \le \pi }{\sup }\frac{1}{2\alpha }\underset{\theta -\alpha }{\overset{\theta +\alpha }{\int }}\phi (e^{it})dt$

より小さいこと、故に テンプレート:Math が証明できる。既知の事実として、ハーディ＝リトルウッド作用素は テンプレート:Math のとき、L^p(T) において有界であるから、適当な普遍定数 C を用いて

$\Vert M\phi {\Vert }_{L^2(𝕋)}^2\le C^2\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\phi (e^{i\theta }{)}^{2}d\theta$

と書くことができる。テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar において正則で、テンプレート:Math のとき、前述の不等式は テンプレート:Math に対して適用することが出来る。以上の事実より、古典的ハーディ空間 テンプレート:Mvar 内の任意の函数 テンプレート:Mvar は次を満たすと結論づけられる。

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{(\underset{0\le r<1}{\sup }|F(r{e}^{i\theta })|)}^{p}d\theta \le C^2\underset{0\le r<1}{\sup }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|F(r{e}^{i\theta }){|}^{p}d\theta .$

さらに考察することで、テンプレート:Mvar は動径方向に沿った極限 テンプレート:Math を単位円上のほとんど至る所で持ち、（優収束定理より）テンプレート:Math で定義される テンプレート:Mvar は テンプレート:Math において テンプレート:Mvar に収束する。

リーマン多様体上の劣調和函数

任意のリーマン多様体上で、劣調和函数は定義することが出来る。

定義

テンプレート:Mvar をリーマン多様体とし、テンプレート:Math を上半連続函数とする。任意の開部分集合 テンプレート:Math および テンプレート:Mvar 上の調和函数 テンプレート:Math が境界上で テンプレート:Math を満たすならば、かならず テンプレート:Mvar 全体においても不等式 テンプレート:Math が成立するとき、テンプレート:Mvar は劣調和的であると言う。

この定義は前述の定義と同値である。したがって再び、二回連続的微分可能函数に対して、劣調和性は不等式 テンプレート:Math の成立と同値である。ただし テンプレート:Math は通常のラプラシアンである。

関連項目

• 多重劣調和函数 — 複素多変数への一般化
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book