リーマン和のソースを表示

'''リーマン和'''（リーマンわ、{{lang-en|Riemann sum}}）とは、
[[実数]]区間 <math>I=[a,b]</math> 上で、[[数列]] <math>a=x_0 < x_1< x_2< \dots< x_n=b</math> と
その間の代表点 <math>\xi_k ( x_{k-1} \leq \xi_k \leq x_k, k=1, 2, 3, \dots, n)</math> があり、
数列のすべての[[有限差分]] <math>\Delta x_k:= x_k - x_{k-1}</math> が
<math>\lim_{n \to \infty} \Delta x_k = 0</math> を満たし、
区間 <math>I=[a,b]</math> 上で定義された実数値[[連続函数]] <math>f</math> について、
<math>n \to \infty</math> での極限が、
数列の種類によらずにひとつの有限確定値に収束するとき、
リーマン積分
:<math>\int _a^b f (x) d x = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k) \Delta x_k</math>
が成り立つ。
このときの
:<math>\sum_{k=1}^{n} f(\xi_k) \Delta x_k</math>
がリーマン和である<ref>『リーマン論文集』足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編訳</ref>。
[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]と[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]がそれぞれ別々に、[[微分]]と[[積分]]の逆演算性を発見した。
最初にリーマン和を左リーマン和 <math>\sum_{k=1}^{n} f(x_{k-1}) \Delta x_k</math> と右リーマン和 <math>\sum_{k=1}^{n} f( x_k) \Delta x_k</math>の形で導入したのは[[オイラー]]であるが、
それは「積分の定義」としてではなく「積分の近似式」としてであった。
以後、ラクロワ、[[シメオン・ドニ・ポアソン|ポアソン]]を経て、コーシーが、積分の定義とし採用する。
[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー|コーシー]]よりも前の[[積分]]は、[[微分]]の定義に依存した[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]・[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった
<ref>二キフォロスキー著、馬場良和訳『積分の歴史 - アルキメデスからコーシー, リーマンまで -』現代数学社, 1993, pp.190 - 191</ref>
<ref>安部齊『微積分の歩んだ道』森北出版, 1989, pp.194 - 195</ref>。
"Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが，Cauchy は定積分をまず定義した後， <math>\frac{d }{d x}\int _a^x f (s) d s = f(x)</math> を定理として導いた．こうした発想の逆転も Cauchy に負う．<ref>岩波『数学辞典』第四版, p.106</ref>"
これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。


<gallery>
Image:Riemann sum (leftbox).gif|左リーマン和
Image:Riemann sum (rightbox).gif|右リーマン和
Image:Riemann sum (middlebox).gif|[[数値積分|中点則]]
</gallery>

{{multiple image
 | width = 240
 | image2 = Riemann sum (y=x^2).gif
 | alt2 = 
 | caption2 =<math>0\leq x\leq 2</math>における <math>y=x^2</math> の右リーマン和
}}
== リーマン和の具体例 ==

=== 被積分函数が単項式のとき ===  
例えば、<math>[1, 2]</math> で <math>f(x)=x^2</math> のとき
==== 等差数列 ====
[[等差数列]] <math>x_k = 1 + \frac{k}{n} \;  (k=0, 1, 2, \dots, n)</math> をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、
:<math>
\sum_{k=1}^{n} x_{k-1} ^ 2 \Delta x_k 
= 
\sum_{k=1}^{n} \left ( 1 + \frac{k-1}{n} \right )^2 \frac{1}{n}
= 
\frac{7}{3}-\frac{3}{2 n}+ \frac{1}{6 n^2}
</math>
:<math>
\sum_{k=1}^{n}  x_k ^ 2 \Delta x_k
=
\sum_{k=1}^{n} \left ( 1 + \frac{k}{n} \right )^2 \frac{1}{n}
= 
\frac{7}{3}+\frac{3}{2 n}+ \frac{1}{6 n^2}</math>
となる<ref>遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.180 - pp.181 </ref>。

==== 等比数列 ====
[[等比数列]] <math>x_k = 2 ^{\frac{k}{n}} \; (k=0, 1, 2, \dots, n)</math> をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、
:<math>
\sum_{k=1}^{n} x_{k-1} ^ 2 \Delta x_k
=
\sum_{k=1}^{n}  
\left( 2 ^{\frac{k-1}{n}} \right)^2 
\, ( 2^\frac{k}{n} - 2^\frac{k-1}{n} )
= 
\frac{7}{ 2^{\frac{2}{n}} + 2 ^{\frac{1}{n}} + 1 }
</math>
:<math>
\sum_{k=1}^{n}  x_k ^ 2 \Delta x_k
=
\sum_{k=1}^n  
\left( 2 ^{\frac{k}{n}} \right)^2 
\, ( 2^\frac{k}{n} - 2^\frac{k-1}{n} )
= 
\frac{7}{ 2^{ - \frac{2}{n}} + 2 ^{ - \frac{1}{n}} + 1 }
</math>
となる。

<math>f(x)=x^2</math> は<math>[1, 2]</math> で単調増加函数なので、等差数列か等比数列かに拘わらず、左リーマン和と右リーマン和の間で
:<math>\sum_{k=1}^{n} x_{k-1} ^ 2 \Delta x_k 
\leq 
\sum_{k=1}^{n}  \xi_k ^ 2 \Delta x_k 
\leq 
\sum_{k=1}^{n}  x_k ^ 2 \Delta x_k</math>
の関係が成り立つ。
連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、<math>n \to \infty</math> の極限で収束するので、
:<math>
\int _ 1 ^ 2 x ^ 2 d x
= 
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \xi_k ^ 2 \Delta x_k
= 
\frac{7}{3}</math>
が得られる。

=== 積分の結果が対数となるとき ===  
<math>[1, 2]</math> で <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> のとき

[[等比数列]] <math>x_k = 2 ^{\frac{k}{n}} \; (k=0, 1, 2, \dots, n)</math> をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、
:<math>
\sum_{k=1}^{n} 
\frac{1}{x_{k-1}} \Delta x_k 
= 
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 ^{\frac{k-1}{n}}} 
\, ( 2^\frac{k}{n} - 2^\frac{k-1}{n} )
= 
n
\left( 2 ^{ \frac{1}{n}} - 1 \right) 
</math>
:<math>
\sum_{k=1}^{n} 
\frac{1}{x_k} \Delta x_k
=
\sum_{k=1}^n \frac{1}{2 ^{\frac{k}{n}}} 
\, ( 2^\frac{k}{n} - 2^\frac{k-1}{n} )
= 
n
\left( 1 - 2 ^{ - \frac{1}{n}} \right) </math>
となる<ref>遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.182 - pp.183 </ref>。
<math>f(x)=\frac{1}{x}</math> は<math>[1, 2]</math> で単調減少函数なので、左リーマン和と右リーマン和の間で
:<math>
\sum_{k=1}^{n} 
\frac{1}{x_{k-1}} \Delta x_k 
\geq 
\sum_{k=1}^{n} 
\frac{1}{\xi_k} \Delta x_k
\geq 
\sum_{k=1}^{n} 
\frac{1}{x_k} \Delta x_k
</math>
の関係が成り立つ。
連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、<math>n \to \infty</math> の極限で収束するので、
:<math>
\int _ 1 ^ 2 \frac{1}{x} d x
= 
\lim_{n \to \infty} 
n
\left(  2 ^ \frac{1}{n} - 1 \right) 
= 
\lim_{n \to \infty} 
n
\left( 1 - 2 ^{ - \frac{1}{n}} \right) 
</math>
が得られる。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{math-stub}}

{{DEFAULTSORT:りいまんわ}}
[[Category:積分法]]
[[Category:ベルンハルト・リーマン|わ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]