リー・トロッター積公式のソースを表示

[[数学]]において、[[ソフス・リー]] (Sophus Lie, 1875) にちなんで名づけられた'''リーの積公式''' ({{lang-en-short|Lie product formula}}) は、任意の[[実数|実]]あるいは[[複素数|複素]][[正方行列|正方]][[行列 (数学)|行列]] {{mvar|A}}, {{mvar|B}} に対して、

:<math>e^{A+B} = \lim_{n \rightarrow \infty} (e^{A/n}e^{B/n})^n </math>

が成り立つという定理である。ここで {{math|''e''<sup>''A''</sup>}} は {{mvar|A}} の[[行列指数関数]]を表す。'''リー・トロッターの積公式''' (Lie–Trotter product formula) {{harv|Trotter|1959}} および'''トロッター・加藤の定理''' (Trotter–Kato theorem) {{harv|Kato|1978}} はこれをある種の非有界線型作用素 {{mvar|A}}, {{mvar|B}} に拡張する。

==定理==
{{math|''A'', ''B''}} を同じ次数の任意の実または複素正方[[行列]]、{{mvar|n}} を[[自然数]]とするとき、次の式が成立する。 

:<math>e^{A+B} = \lim_{n \rightarrow \infty} (e^{A/n}e^{B/n})^n.</math>

ここで {{math|''e''{{sup|''A''}}}} は[[行列指数関数]]による {{mvar|A}} の像であり、次の式により定義される。

:<math>e^{A} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k.</math>
ただし、{{math|1=''A''<sup>0</sup> = ''I''}}（[[単位行列]]）である。

また、行列 {{mvar|A}} の[[ノルム]]は次で定義するものとし、収束はこのノルムによることを意味するものとする。

:<math>\|A\| =  \frac{1}{\sqrt{\dim A}} \sqrt{\sum_{i,j} |a_{ij}|^2}.</math>
ただし、{{math|{{mabs|''a{{sub|ij}}''}}}} は {{mvar|A}} の {{math|(''i'', ''j'')}} 成分の絶対値、{{math|dim ''A''}} は {{mvar|A}} の次元である。係数 <math>1/\sqrt{\dim A}</math> は 単位行列 {{math|1=''I''}} のノルムを 1 にするためのものであり、この係数を省いた定義を用いる文献もある(この係数が無くても、以下の論議で問題は発生しない)。

リー・トロッター積公式は、通常の[[指数関数]]における次の規則の拡張である。

:<math>e^{x+y} = e^{x}e^{y}.</math>

この式は、{{math|''x'', ''y''}} が任意の[[実数]]または[[複素数]]の場合に成立する。{{math|''x'', ''y''}} を行列 {{math2|''A'', ''B''}} で置き変え、指数関数を行列指数関数で置き変えると、この規則が成立するためには、一般に {{mvar|A}} と {{mvar|B}} が[[可換]]である必要がある。しかし、リー・トロッター積公式は、{{mvar|A}} と {{mvar|B}} が可換でなくても一般に成立する。

この公式は、{{仮リンク|ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式|en|Baker–Campbell–Hausdorff formula}}の自明な系である。

より一般的には、{{math2|''A'', ''B''}} を行列に限定せず、任意の[[ノルム空間]] {{mvar|V}} 上の有限な[[ノルム]]を持つ[[線形作用素]]としても、この公式は成立する。ただし、上記の行列についてのノルムは、次で定義されるノルム空間 {{mvar|V}} 上の線形作用素 {{mvar|A}} のノルム {{math|{{!!}}''A''{{!!}}}} に置き換えるものとする。

:<math>\|A\| = \sup_{x\in V} \frac{\|A x\|}{\|x\|}.</math>

この定義では、ノルム空間 {{mvar|V}} 上の恒等写像 {{math|1=''I''}} のノルムは 1 である。

==証明==
特に複素正方行列の場合について証明する。以下の証明は {{harv|窪田|2008|pp=34&ndash;36}} による。次の補題を用いる。

;補題
{{math|''A'', ''B''}} を同じ次数の任意の複素正方行列とすると、次の関係が成り立つ{{sfn|窪田|2008|p=34}}。
:<math>e^{A}e^{B} = e^{(A+B)} +O(\|A\|\|B\|).</math>
ただし、<math>O (\cdot)</math> は[[ランダウの記号]](ただし、行列値に拡張している)である。

補題の証明は省略する。

補題から {{mvar|n}} を自然数として任意の行列 {{mvar|A}}, {{mvar|B}} に対して次の式が成り立つ。

:<math>e^{A/n}e^{B/n} = e^{(A+B)/n} + O(\|A/n\|\|B/n\|)  = e^{(A+B)/n} + O(\|A\|\|B\|/n^2). </math>

従って、

:<math>\begin{align}
(e^{A/n}e^{B/n})^n &= \left(e^{(A+B)/n} + O(\|A\|\|B\|/n^2)\right)^n \\
&=e^{A+B} + O(1/n)&(n\to\infty)
\end{align}</math>

となるから、
:<math>\lim_{n \to \infty}\left(e^{A/n}e^{B/n}\right)^n=e^{A+B}</math>
が成り立つ。

==応用==
この公式は、[[量子力学]]における[[経路積分]]において応用されており、この公式によって[[エルヴィン・シュレーディンガー|シュレーディンガー]]時間推進作用素 (そのジェネレーターが[[ハミルトニアン]]である) を、運動エネルギー作用素 (の時間積分断片)とポテンシャルエネルギー作用素 (の時間積分断片) の交互の積の列に分離することが可能になっている{{sfn|大貫|柏|鈴木|2000}}。同様のアイデアは[[微分方程式]]の[[数値解法]]における分割法 (離散化) を構築する上でも使われている。

== 脚注 ==
{{reflist|30em}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|author1=伊勢幹夫|author2=竹内勝|title=Lie 群 I|publisher=岩波書店|series=岩波講座 基礎数学|year=1977|ref=harv}}
* {{cite book|和書|last1=大貫|first1=義郎|last2=柏|first2=太郎|last3=鈴木|first3=増雄|title=経路積分の方法|publisher=岩波書店|series=現代物理学叢書|year=2000|ref=harv}}
* {{Cite book
 | 和書
 | last1 = 小林
 | first1 = 俊行
 | last2 = 大島
 | first2 = 利雄
 | year = 2005
 | title = リー群と表現論
 | publisher = 岩波書店
 | isbn = 4-00-006142-9
 | ref = harv
}}
* {{cite book|和書|last=窪田|first=高弘|title=物理のためのリー群とリー代数|publisher=サイエンス社|series=臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ|year=2008|ref=harv}}
* Sophus Lie and Friedrich Engel  (1888, 1890, 1893).  ''Theorie der Transformationsgruppen'' (1st edition, Leipzig; 2nd edition, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN 0828402329
* {{Citation | last1=Albeverio | first1=Sergio A. | last2=Høegh-Krohn | first2=Raphael J. | title=Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=1st | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-07785-5 | doi=10.1007/BFb0079827 | year=1976 | volume=423}}.
* {{Citation | first=Brian C. | last=Hall | title=Lie groups, Lie algebras, and representations: an elementary introduction | publisher=Springer | year=2003 | isbn=978-0-387-40122-5}}, pp. 35.
*{{SpringerEOM|title=Trotter product formula|urlname=Trotter_product_formula}}
*{{Citation | last1=Kato | first1=Tosio | title=Topics in functional analysis (essays dedicated to M. G. Kreĭn on the occasion of his 70th birthday) | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | series=Adv. in Math. Suppl. Stud. |mr=538020 | year=1978 | volume=3 | chapter=Trotter's product formula for an arbitrary pair of self-adjoint contraction semigroups | pages=185–195}}
*{{Citation | last1=Trotter | first1=H. F. | title=On the product of semi-groups of operators |mr=0108732 | year=1959 | journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9939 | volume=10 | issue=4 | pages=545–551 | doi=10.2307/2033649 | jstor=2033649}}
* {{Citation | first=V.S. | last=Varadarajan | title=Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations | publisher=Springer-Verlag | year=1984 | isbn=978-0-387-90969-1}}, pp. 99.
*{{cite journal|first=Masuo|last= Suzuki|title=Generalized Trotter's formula and systematic approximants of exponential operators and inner derivations with applications to many-body problems|journal=
Comm. Math. Phys.|volume=51|year=1976| pages= 183–190|doi=10.1007/bf01609348}}

== 関連項目 ==
* [[リー群]]
* [[行列指数関数]]
* [[経路積分]]
* {{仮リンク|Time-evolving block decimation|en|Time-evolving block decimation}}
* [[鈴木＝トロッター分解]]

{{DEFAULTSORT:りいとろつたあせきこうしき}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:リー群論]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]