リー代数の随伴表現のソースを表示

{{出典の明記|date=2014年4月}}
'''リー代数の随伴表現'''（リーだいすうのずいはんひょうげん、{{lang-en-short|''adjoint representation of a Lie algebra''}}）とは、[[リー代数]] <math>\mathfrak{g}</math> の[[交換子]]を用いて定義されるリー代数から <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math> への準同型写像のことをいう。

==定義==
<math>\mathfrak{g}</math> をリー代数とする。<math>x \in \mathfrak{g}</math> に対し <math>ad_{x} :  \mathfrak{g} \to  \mathfrak{g}</math> を
:<math>ad_{x}(y)=[x, y]</math>
によって定める。このとき <math>ad_{x}</math> は[[線型変換]]であり、リー代数からベクトル空間へ準同型
:<math>ad : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}),\quad x \mapsto ad_{x}</math>
をリー代数 <math>\mathfrak{g}</math> の随伴表現という。

==性質==
<math>x, y, z \in \mathfrak{g}</math> に対して、
:<math>ad_{[x,y]}(z)=[ad_{x}, ad_{y}](z)</math>。

==リー群の随伴表現との関係==
リー群 <math>G</math> の単位元における接空間 <math>T_{e}G=\mathfrak{g}</math> を <math>G</math> に付随するリー代数という。 <math>G</math> の[[随伴表現]]を <math>Ad</math> とすると、
:<math>d(Ad)_{e}=ad : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>
が成り立つ。

{{Abstract-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:りいたいすうのすいはんひようけん}}
[[Category:表現論]]
[[Category:リー環の表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]