リー代数の随伴表現

テンプレート:出典の明記 リー代数の随伴表現（リーだいすうのずいはんひょうげん、テンプレート:Lang-en-short）とは、リー代数 $𝔤$ の交換子を用いて定義されるリー代数から $𝔤𝔩(𝔤)$ への準同型写像のことをいう。

定義

$𝔤$ をリー代数とする。$x\in 𝔤$ に対し $a{d}_x:𝔤\to 𝔤$ を

$a{d}_x(y)=[x,y]$

によって定める。このとき $a{d}_x$ は線型変換であり、リー代数からベクトル空間へ準同型

$ad:𝔤\to 𝔤𝔩(𝔤),x\mapsto a{d}_x$

をリー代数 $𝔤$ の随伴表現という。

性質

$x,y,z\in 𝔤$ に対して、

$a{d}_{[x,y]}(z)=[a{d}_x,a{d}_y](z)$。

リー群の随伴表現との関係

リー群 $G$ の単位元における接空間 $T_{e}G=𝔤$ を $G$ に付随するリー代数という。 $G$ の随伴表現を $Ad$ とすると、

$d(Ad{)}_e=ad:𝔤\to 𝔤𝔩(𝔤)$

が成り立つ。