ルジャンドルのカイ関数のソースを表示

[[数学]]において、'''ルジャンドルのカイ関数'''(''Legendre chi function'')とは、[[テイラー展開]]が以下により与えられた、[[ディリクレ級数]]でもある[[特殊関数]]である。
:<math>
\chi_\nu(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^\nu}.
</math>

上の式は[[多重対数関数]]のディリクレ級数と似ている。事実、以下のような多重対数関数を用いた表現が可能である。

:<math>\chi_\nu(z) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{Li}_\nu(z) - \operatorname{Li}_\nu(-z)\right].</math>

[[フルヴィッツのゼータ関数]]<math>\zeta(s,q)</math>の変数sでの[[離散フーリエ変換]]は、ルジャンドルのカイ関数である。

ルジャンドルカイ関数は、{{仮リンク|レルヒのゼータ関数|en|Lerch zeta function}}の特殊なケースである。そのため、次の式でも与えられる。
:<math>\chi_\nu(z)=2^{-\nu}z\,\Phi (z^2,\nu,1/2).\,</math>

== 恒等式 ==
:<math>\chi_2(x) + \chi_2(1/x)= \frac{\pi^2}{4}-\frac{i \pi}{2}|\ln x| \qquad(x>0).</math>
:<math>\frac{d}{dx}\chi_2(x) = \frac{{\rm arctanh\,} x}{x}.</math>

== 関係する積分 ==
:<math>\int_0^{\pi/2} \arcsin (r \sin \theta) d\theta 
= \chi_2\left(r\right)</math>
:<math>\int_0^{\pi/2} \arctan (r \sin \theta) d\theta 
= -\frac{1}{2}\int_0^{\pi} \frac{ r \theta \cos \theta}{1+ r^2 \sin^2 \theta} d\theta  
= 2 \chi_2\left(\frac{\sqrt{1+r^2}- 1}{r}\right)</math>
:<math>\int_0^{\pi/2} \arctan (p \sin \theta)\arctan (q \sin \theta) d\theta = \pi \chi_2\left(\frac{\sqrt{1+p^2}- 1}{p}\cdot\frac{\sqrt{1+q^2}- 1}{q}\right)</math>
:<math>\int_0^{\alpha}\int_0^{\beta} \frac{dx dy}{1-x^2 y^2} = \chi_2(\alpha\beta)\qquad {\rm if}~~|\alpha\beta|\leq 1</math>

== 参考文献 ==
* {{mathworld|urlname=LegendresChi-Function |title=Legendre's Chi Function}}
* Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski,  "[http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0025-5718-99-01091-1 Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments]", Mathematics of Computation '''68''' (1999), 1623-1630.
* {{note_label|Cvijovic2006||}}{{cite web|author=Djurdje Cvijović|year= 2006
|url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WK2-4MG1X3C-6&_user=1793225&_coverDate=11%2F30%2F2006&_alid=512412473&_rdoc=2&_fmt=summary&_orig=search&_cdi=6894&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000053038&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1793225&md5=d64e4c1e1d59beb223eefd865b64e422|title=Integral representations of the Legendre chi function|publisher=Elsevier
|accessdate=December 15, 2006}}
* [http://math.stackexchange.com/questions/555882/integral-int-01-frac-arctan2x-sqrt1-x2dx Mathematics Stack Exchange]

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{{DEFAULTSORT:るしやんとるのかいかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]
[[Category:数学に関する記事]]